Pré-Vestibular ⇒ (UFG - 2005) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[estrela]

Dado o sistema de equações:

• [tex3]\begin{cases}x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0\\y = mx,\text{ } m \in \mathbb{R} \end{cases}[/tex3]

a) Represente graficamente, no plano cartesiano, o sistema quando a reta [tex3]y = mx[/tex3] passa pelo centro da circunferência descrita pela primeira equação.
b) Determine o conjunto de valores de [tex3]m[/tex3] para que o sistema admita duas soluções.

[Thales Gheós]

a) [tex3]x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0\Longrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=1.[/tex3]

O centro é [tex3](2,1)[/tex3] e o raio vale [tex3]1.[/tex3]

Se [tex3]y=mx[/tex3] passa pelo centro, então [tex3]1=2m\Longrightarrow m=\frac{1}{2}.[/tex3] Logo, [tex3]y=\frac{x}{2}.[/tex3]

• 

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b) Para que o sistema tenha duas soluções, a reta [tex3]y=mx[/tex3] deve estar compreendida entre as duas tangentes à circunferência. Como [tex3]y=\frac{x}{2}[/tex3] é a bissetriz do ângulo formado pelas tangentes,

• [tex3]\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\Longrightarrow \tan 2\alpha=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\Longrightarrow \tan 2\alpha=\frac{4}{3}.[/tex3]

Portanto, [tex3]0<m <\frac{4}{3}.[/tex3]

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