Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1987) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na figura abaixo, [tex3]ABC[/tex3] é um triângulo retângulo. [tex3]BnApC,\text{ }BmA ,\text{ } AqC[/tex3] são semicircunferências, cujos diâmetros são, respectivamente, [tex3]BC, \text{ }AB \text{ e } AC.[/tex3] Calcule a soma das áreas das figuras hachuras, sabendo-se que a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]82 \text{ cm}^2.[/tex3]

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Resposta:

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[tex3]82[/tex3]

[adrianotavares]

Generalização do Teorema de Pitágoras

Se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos.

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Se [tex3]P, M \text{ e } N[/tex3] são as áreas dos semicírculos construídos sobre a hipotenusa e os catetos, então [tex3]P=M+N.[/tex3]

Prova: A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Logo,

• [tex3]\frac{P}{M}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Longrightarrow \frac{P}{a^2}=\frac{M}{b^2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{P}{N}=\left(\frac{a}{c}\right)^2\Longrightarrow \frac{P}{a^2}=\frac{N}{c^2}[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\frac{P}{a^2}=\frac{M}{b^2}=\frac{N}{c^2}[/tex3]

como [tex3]a^2=b^2+c^2,[/tex3] pela propriedade das proporções, [tex3]P=M+N.[/tex3]

Solução: Pelo teorema anterior, temos que

• [tex3]F+H+G=J+H+G+I\Longrightarrow F=J+I=82\text{ cm}^2.[/tex3]

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