Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie - 1997) Equação do 3° Grau

[jomatlove]

Relativo à Equação

[tex3]x^3+x-7=0[/tex3], considere as afirmações a seguir:

I. Não admite Raízes racionais
II. A única Raiz real [tex3]\alpha [/tex3]
é tal que [tex3]1<\alpha <2[/tex3]
Ill. A Soma dos quadrados das Raízes É -2

Então:

a) somente I e II são Verdadeiras.
b) somente I e III são verdadeiras.
c) somente II e III são Verdadeiras.
d) Todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.

Resposta

---

d

[Xablauu]

Vou tentar deixar a ideia toda para ficar mais claro.

a) Pelo teorema das raízes racionais, os candidatos para serem raiz do polinômio são: [tex3]\pm 7 \;e\;\pm 1[/tex3].

Testando tais, dá para ver que não são raízes.

b) Primeiro, vamos ver se há uma única raiz real ou são 3 raízes reais.

O primeiro método para ver tal é que a derivada de P = 3x²+1 ser sempre positiva. Ou seja, P é estritamente crescente. Assim, P só pode cortar 1 vez o eixo x.

Outro método, é calcular a soma dos quadrados da raízes usando as Relações de Girard/Viete. A soma dos quadrados das raízes será -2. Se elas forem todas reais, a soma de quadrados nunca pode dar menor que zero.

Como pelo Teorema Fundamental da Álgebra um polinômio do terceiro grau só pode ter 1 raiz real ou 3 raízes real, ele deverá ter uma.

Para checar se a raiz está entre 1 e 2, podemos usar a ideia do Teorema de Bolzano. Perceba que P(1)=-5 e P(2)=3

Como P é estritamente crescente, vai existir um número entre 1 e 2 em que P vai cortar o eixo x para sair da parte de "baixo" do gráfico e ir para a parte de cima do gráfico.

corolario-teorema-bolzano.png (23.81 KiB) Exibido 2224 vezes

Assim, a raiz vai estar sim entre 1 e 2.

c) Das Relações de Girard/Viete, temos que a soma das raízes é 0 e a soma dos produtos dois a dois é 1.

Como (a+b+c)^2=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) ... a²+b²+c²=-2

D)