Ensino Médio ⇒ incírculo mixtilinear 2 Tópico resolvido

[geobson]

Na figura , calcule MD, sabendo que BM=6m e DE=1m.

A) 1m
B) 0,5m
C) 1,5m
D) 2m
E) 3m

Resposta

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D

[Auto Excluído (ID:12031)]

O [tex3]M[/tex3] é ponto médio? Ou é um ponto qualquer?

[geobson]

acredito que seja um ponto qualquer ,pois no problema não diz nada .alias, problema esse envolvendo incírculo mixtilinear muito parecido com aqueles problemas de inversão de pólo que voce respondeu.

[geobson]

Observando bem, percebemos dois pontinhos entre PM e MQ . Não seria para indicar , de fato, que M E o ponto médio de PQ ?

[Auto Excluído (ID:12031)]

olha, eu acho que M é arbitrário, mas eu não estou conseguindo fazer para o caso geral, vou fazer assumindo que ele é ponto médio. Se depois eu encontrar alguma coisa eu tento fazer pro M arbitrário:

Se [tex3]M[/tex3] for o incentro de [tex3]\Delta ABC[/tex3]

então do teorema do incentro:
[tex3]\frac{MB}{MD} = \frac{a+c}{b} \iff \frac{BD}{MD} = \frac{a+b+c}b \iff MD = \frac{b}{2p} \cdot BD = \frac b{2p} \cdot \frac{2ac \cdot \cos \frac{B}2}{a+c}[/tex3]
de onde
[tex3]MB = \frac{ac \cos \frac{B}2}{p}[/tex3]
sabemos que [tex3]EM = EA = EC = \frac{\frac b2}{\cos \frac B2} = \frac b{2\cos \frac B2}[/tex3]
usando por fim a relação não tão comum:
[tex3]ac \cos^2 \frac B2 = p(p-b)[/tex3]
chegamos que
[tex3]\frac{MB}{ME} = \frac{2(p-b)}b \iff \frac{6}{1 + MD} = \frac{a+c - b}{b} = \frac{MB}{MD} -1[/tex3]
[tex3]\frac6{1+x} = \frac6x -1 \iff x=2[/tex3]

parece dificil generalizar isso, acho que talvez usando que PQ [e polar de B e pensando na divisão harmônica da secante BM em relação ao incírculo saia alguma coisa, mas precisa de algo a mais ainda

[geobson]

fabuloso , amigo ! valeu !

[Auto Excluído (ID:12031)]

ainda acho que dá pra generalizar, desse jeito deu muita conta. Acho que usando que PQ é polar de B e pensando na secante BM sai alguma coisa

[Auto Excluído (ID:12031)]

estou pensando em usar o fato de que [tex3]PQ[/tex3] é polar de [tex3]B[/tex3] em relação ao incírculo mixtilíneo:
isso implica que ela divide a secante [tex3]BM[/tex3] harmonicamente (teorema 8 do meu tópico de pólos e polares) e depois brincar com as potências dos pontos.

Então veja sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] os encontros de [tex3]BM[/tex3] com o incírculo com [tex3]X[/tex3] mais próximo de [tex3]B[/tex3] do que [tex3]Y[/tex3].

Como [tex3]BM[/tex3] é secante temos então [tex3]\frac{MX}{MY} = \frac{BX}{BY}[/tex3]
o que parece ajudar bastante o proble é incluir [tex3]ME[/tex3] ai no meio

[geobson]

Aprofunde- se mais nas propriedades do incírculo mixtilinear em :
viewtopic.php?t=73347

[NigrumCibum]

Dá pra provar um caso mais geral, onde D varia ao longo do lado AB. Provando as duas propriedades dá pra provar que I é incentro.

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