Ensino Médio ⇒ OBM, nível 3 - 2018 Tópico resolvido

[Triângulo82]

Esmeralda escreve 2n numeros reais x1, x2, . . . , x2n, todos pertencentes ao intervalo [0, 1], ao redor de um circulo e multiplica todos os pares de numeros vizinhos entre si, obtendo, no sentido anti-horario, os produtos p1 = x1x2, p2 = x2x3, . . . , p2n = x2nx1. Ela soma os produtos de ındice par e subtrai os produtos de ındice ımpar. Qual e o maior resultado que Esmeralda pode obter?

[Auto Excluído (ID:12031)]

eu só sei resolver usando cálculo
você pode definir a função:

[tex3]f(x_1,...,x_{2n}) = \sum_{i=1}^{2n-1} (-1)^{i+1}x_ix_{i+1} - x_{2n}x_1[/tex3]
com os [tex3]x_i[/tex3] no intervalo [tex3][0,1][/tex3]
tira o gradiente:
[tex3]1<i<2n[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x_i} = (-1)^i(x_{i-1}-x_{i+1}) = 0 \iff x_{i-1} = x_{i+1}[/tex3]
ou seja [tex3]x_1 = x_3, x_2 =x_4, x_3 = x_5,...,x_{2n-2} = x_{2n}[/tex3]
ou seja os pares são idênticos e os ímpares também.
para [tex3]i=1[/tex3] o gradiente zero implica [tex3]x_2 = x_{2n}[/tex3]
para [tex3]i=2n[/tex3] o gradiente zero implica que [tex3]x_1 = x_{2n-1}[/tex3]

então vamos dizer que os ímpares valem [tex3]x_{2n-1} = a[/tex3] e os pares valem [tex3]x_{2n} = b[/tex3]
então a nossa soma vai dar [tex3]\sum_{i=1}^{2n} (ab) \cdot (-1)^{i+1} = -(ab) \sum_{i=1}^{2n}(-1)^n =0[/tex3]
mas esse não pode ser o valor máximo da soma, porque se fizermos [tex3]x_1=x_2=1[/tex3] e o resto [tex3]0[/tex3] teremos a soma dando [tex3]1[/tex3].

Portanto o máximo valor desta soma deve ocorrer nas bordas do intervalo [tex3][0,1]^{2n}[/tex3] ou seja: [tex3]x_i=0[/tex3] ou [tex3]x_i=1[/tex3].
Se tivermos apenas dois [tex3]x[/tex3] sendo [tex3]1[/tex3] e o resto [tex3]0[/tex3] podemos ter a soma dando [tex3]1,0,-1[/tex3].
Se transformarmos um dos zeros em 1 podemos ter: o um transformado em zero, o um inalterado. Logo a adição de outro um não pode aumentar o um já existente. Portanto adicionar mais uns não aumentaria a soma. (Esse argumento é meio heurístico teria que ver caso a caso ou pegar alguém bom de combinatória pra confirmar).

O máximo então é [tex3]1[/tex3] ocorre por exemplo quando algum [tex3]p[/tex3] ímpar vale [tex3]1[/tex3] e o outros valem [tex3]0[/tex3] (apesar não ocorrer somente quando isso é verdade, você poderia ter [tex3]p_1=p_2=p_3= 1[/tex3] e o resto zero que a soma daria um também).