IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1958) Geometria Plana: Conjugado Harmônico Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dado o segmento [tex3]\overline{AB}=16\text{ cm}[/tex3] e o ponto interior [tex3]M,[/tex3] dividindo [tex3]AB[/tex3] na razão [tex3]\frac{\overline{AM}}{\overline{MB}}=\frac{3}{5},[/tex3] a que distância de [tex3]A[/tex3] está situado o ponto [tex3]N,[/tex3] conjugado harmônico de [tex3]M?[/tex3]

a) [tex3]8\text{ cm}.[/tex3]
b) [tex3]16\text{ cm}.[/tex3]
c) [tex3]40\text{ cm}.[/tex3]
d) [tex3]32\text{ cm}.[/tex3]
e) [tex3]24\text{ cm}.[/tex3]

[fabit]

Se [tex3]M[/tex3] é interior ao segmento de [tex3]16[/tex3] centímetros e divide o mesmo em partes proporcionais a [tex3]3[/tex3] e [tex3]5[/tex3] (total [tex3]8[/tex3] partes de [tex3]2[/tex3] centímetros cada), então [tex3]\overline{AM}=6\text{ cm}[/tex3] e [tex3]\overline{MB}=10\text{ cm}.[/tex3]

O conjugado [tex3]N[/tex3] deverá estar no prolongamento de [tex3]AB,[/tex3] de modo que [tex3]A[/tex3] fique entre [tex3]N[/tex3] e [tex3]B[/tex3] e valha [tex3]\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}=\frac{\overline{AM}}{\overline{MB}}=\frac{3}{5}.[/tex3] Queremos calcular [tex3]\overline{AN}=x,[/tex3] sabendo que [tex3]\overline{NB}=\overline{AB}+\overline{AN}=16+x.[/tex3]

Portanto

• [tex3]\frac{x}{x+16}=\frac{3}{5}\Rightarrow5x=3x+48\Rightarrow 2x=48\Rightarrow x=24\text{ cm}.[/tex3]

Letra (e).

[Karl Weierstrass]

• 

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Sejam [tex3]N[/tex3] e [tex3]M[/tex3] os conjugados harmônicos do segmento [tex3]AB[/tex3] na razão [tex3]k.[/tex3]

Se [tex3]\overline{AB}=\ell[/tex3] e [tex3]\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{NA}}{\overline{NB}}=k<1,[/tex3] então [tex3]\overline{MN}=x[/tex3] é tal que

• [tex3]x=\frac{2k\ell}{1-k^2}.[/tex3]

Desse modo,

• [tex3]x=\frac{2\cdot \frac{3}{5}\cdot 16}{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=30\text{ cm}.[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3]\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{3}{5}\Longrightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{MA}}=\frac{8}{3}\Longrightarrow \overline{MA}=6\text{ cm}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\overline{NA}=x-\overline{MA}=30-6=24\text{ cm}.[/tex3]