IME / ITA ⇒ (Escola Naval CPAPCM - 2007) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A solução particular da equação [tex3]x^2y"-xy'+y=2x[/tex3], com as condições iniciais [tex3]y(1)=0[/tex3] e [tex3]y'(1)=1[/tex3], é

(A) [tex3]y=x(ln x+xln^2x)[/tex3].
(B) [tex3]y=ln x+xln^2x[/tex3].
(C) [tex3]y=xln x[/tex3].
(D) [tex3]y=2ln x-x+1[/tex3].
(E) [tex3]y=x(ln x+ln^2x)[/tex3].

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

A solução geral é dada por : [tex3]y_{G}=y_{A}+y_{P}[/tex3] , ou seja , solução auxiliar mais a solução particular.

Obs. O livro utilizado na época pela minha professora adotou para a solução auxiliar como sendo [tex3]y_{A}=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{1}}ln(x)[/tex3]( isso somente quando o valor do ∆ = 0 , [tex3]m_{1}=m_{2}[/tex3] ) , já outros livros adotam como sendo a solução "particular" , na minha opinião , para este caso os livros deveriam falar a mesma língua, até mesmo para evitar confusões nos estudantes. Então , para a resposta sair de acordo com o que está exposto em uma das alternativas irei adotar como sendo a solução particular [tex3]y_{P}=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{1}}ln(x)[/tex3]

Como trata-se de uma EDO Cauchy-Euler, temos que:

[tex3]y=x^m \ ; \ y'=mx^{m-1} ; \ y''=m(m-1)x^{m-2}[/tex3]

Substituindo na equação dada , vem;

[tex3]x^2(m^2-m)x^{m-2}-xmx^{m-1}+x^m=0[/tex3]

[tex3]m^2x^m-mx^m-mx^m+x^m=0[/tex3]

[tex3]x^m.(m^2-2m+1)=0[/tex3]

m² - 2m + 1 = 0

Logo, [tex3]m_{1}=m_{2}=1[/tex3]

Assim,

[tex3]y_{P}(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{1}}ln(x)[/tex3]

[tex3]y_{P}(x)=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{1}ln(x)[/tex3]

[tex3]y_{P}(x)=C_{1}x+C_{2}xln(x)[/tex3]

Então, para y( 1 ) = 0, temos:

[tex3]y_{P}(1)=C_{1}.1+C_{2}.1.ln(1)[/tex3]

[tex3]0=C_{1}+C_{2}.0[/tex3]

[tex3]C_{1}=0[/tex3]



Por outro lado,

[tex3]y'_{P}(x)=C_{1}.1+C_{2}[1.ln(x)+1][/tex3]

[tex3]y'_{P}(x)=C_{1}+C_{2}[ln(x)+1][/tex3]


Para y'(1) = 1, vem;

[tex3]y'_{P}(1)=C_{1}+C_{2}[ln(1)+1][/tex3]

[tex3]1=0+C_{2}[0+1][/tex3]

[tex3]C_{2}=1[/tex3]

Daí;

[tex3]y_{P}(x)=C_{1}x+C_{2}xln(x)[/tex3]

[tex3]y_{P}(x)=0.x+1.xln(x)[/tex3]

[tex3]y_{P}(x)=xln(x)[/tex3]

Portanto, a solução particular da equação dada com as condições iniciais do enunciado é : y = x.ln( x ) , alternativa (C).



Detalhes adicionais:

A solução geral sem as condições iniciais é:

[tex3]y(x)=C_{1}x+C_{2}xln(x)+xln^2(x)[/tex3]

Com as condições iniciais dadas:

[tex3]y=x[ln(x)+ln^2(x)][/tex3]





Nota

Agora, se a resposta for a alternativa (E) , é porque ela ( a banca examinadora ) está considerando como "solução particular" como sendo a "solução geral" com as condições iniciais dadas, eu por exemplo já vi essa situação num livro de EDO em inglês. Por isso a necessidade de se postar o gabarito também, quando se tem é claro!


Bons estudos!