Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Esfera Tópico resolvido

[jrbueno]

Dois semiplanos tangentes a uma esfera de raio unitário formam um diedro de medida [tex3]a.[/tex3] A corda por eles interceptada mede:

a) [tex3]cos a[/tex3]
b) [tex3]\text{tg} a[/tex3]
c) [tex3]2 \cos \left(\frac{a}{2}\right)[/tex3]
d) [tex3]2 \text{tg} \left(\frac{a}{2}\right)[/tex3]
e) nda

Olá, preciso de ajuda neste exercício. Estou com dificuldades na interpretação e na resolução.
Desde já agradeço a atenção.

[cajuADMIN]

Olá jrbueno,

Fazendo um corte na esfera exatamente sobre o centro da esfera e perpendicular as dois semi-planos, temos a seguinte figura:

2_mundo_1.jpg (13.56 KiB) Exibido 66 vezes

No triângulo pontilhado podemos aplicar a lei dos co-senos:

[tex3]x^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot\cos(180^{\circ}-a)[/tex3]

Sabendo que [tex3]\cos(180^{\circ}-a)=-\cos(a)[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{2+2\cdot\cos(a)}[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{2(1+\cos a)}[/tex3]

Agora temos que substituir [tex3]\cos a=\cos^2\left(\frac a2\right)+\sin^2\left(\frac a2\right)[/tex3] que é a mesma coisa que [tex3]\cos a=1-2\sin^2\left(\frac a2\right)[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{2(1+1-2\sin^2\left(\frac a2\right))}[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{2(2-2\sin^2\left(\frac a2\right))}[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{4(1-\sin^2\left(\frac a2\right))}[/tex3]

[tex3]x=\sqrt{4\cos^2\left(\frac a2\right)}[/tex3]

[tex3]x=2\cos\left(\frac a2\right)[/tex3]