Pré-Vestibular ⇒ UNB 2º 2009 razão áurea Tópico resolvido

[Vithor]

A razão áurea é uma relação matemática definida algebricamente pela expressão

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, em que a e b representam números, e , uma constante de valor aproximado igual a 1,618. Na figura acima, são apresentadas situações em que está presente a razão áurea, que, por traduzir beleza e harmonia, é também encontrada na arquitetura, nas artes visuais e, muito frequentemente, na música. A característica comum dessas obras de arte é que, a partir do ponto focal ou clímax, é possível definir elementos no tempo, como na música, ou no espaço, como na pintura e na fotografia, que respeitam à razão áurea. Na estrutura da forma sonata do período clássico, por exemplo, o clímax divide o intervalo do tempo total da música em duas partes a e b que obedecem à razão áurea.



A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

Considere que um geômetra-músico, ao compor uma música, tenha associado todo o intervalo de tempo que antecede ao clímax a um comprimento a, que utilizou posteriormente para construir um quadrado de lado a, como mostrado na figura a seguir. Ele, então, a partir do ponto P que divide a base do quadrado em dois segmentos iguais, traçou o segmento de reta PQ, como mostrado na figura. Em seguida, obteve o segmento de comprimento b, fazendo com que os pontos Q e R pertençam ao arco de circunferência de raio PQ, conforme mostrado na figura. Sabendo-se, ainda, que a + b corresponde ao intervalo de tempo total da música, conclui-se que essa música com o clímax assim definido tem a estrutura da forma sonata do período clássico.

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Boiei legal nesta questão

Resposta

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Certo

[csmarceloMOD]

Ele quer saber justamente se [tex3]\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}[/tex3], o que, por consequência, faz com que ambas expressões sejam iguais a [tex3]\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3].

Da figura,

[tex3]\frac{a}{2}+b=PQ=\sqrt{\(\frac{a}{2}\)^2+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Daí,

[tex3]b=\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{a+b}{a}=\frac{a+\frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Se [tex3]\frac{a+b}{a}=\phi[/tex3], então [tex3]\frac{a}{b}=\phi[/tex3], mas vamos fazer as contas só para comprovar.

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a}{\frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Da figura,

[tex3]{\color{red}\frac{a}{2}+b}=PQ=\sqrt{\(\frac{a}{2}\)^2+a^2}={\color{red}\frac{a\sqrt{5}}{2}}[/tex3]