Pré-Vestibular ⇒ (MED. SÃO CAMILO) Geometria Tópico resolvido

[MayumiBeatriz]

Na figura, o círculo de centro C e o triângulo ABC possuem áreas de medidas iguais, sendo que T é o ponto de tangência entre
o círculo e o lado AB do triângulo. Sabe-se ainda que o raio do círculo mede 10 cm e que a medida do ângulo CÂB é 45º.

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a) Calcule a medida de ab
b) Calcule a área do triângulo CBT.

[Kaiope]

Posta o gabarito pra ver se tá batendo aqui

[Babi123]

Solução:
Como [tex3]T[/tex3] é ponto de tangência, temos que [tex3]CT[/tex3] é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] (pois [tex3]CT[/tex3] é raio).
Da informação que o círculo e o triângulo possuírem áreas equivalentes (esse é o nome mais adequado no contexto de áreas), segue que:
[tex3]\pi\cdot r^2=\frac{\overline{AB}\cdot CT}{2}\\
\pi\cdot r^2=\frac{\overline{AB}\cdot r}{2}\\
\pi \cdot r=\frac{\overline{AB}}{2}\\
\overline{AB}=2\cdot \pi\cdot 10\\
\boxed{\boxed{\overline{AB}=20\pi \ cm}}[/tex3]

b)
Da razão trigonométrica tangente, obtemos:
[tex3]\tg45°=\frac{\overline{CT}}{\overline{AT}}\\
1=\frac{10}{\overline{AT}}\\
\boxed{\boxed{\overline{AT}=10 \ cm}}[/tex3]
Daí, temos que [tex3]\overline{BT}=\overline{AB}-\overline{AT}=20\pi-10\implies \boxed{\boxed{\overline{BT}=10\cdot(2\pi-1) \ cm}}[/tex3]

Então,
[tex3]A_{∆CBT}=\frac{10\cdot(2\pi-1)\cdot 10}{2}\\
\boxed{\boxed{A_{∆CBT}=50\cdot(2\pi-1) \ cm^2}}[/tex3]

[Babi123]

Note que é desnecessário usar a razão trigonométrica tangente, pois o triângulo [tex3]\Delta ACT[/tex3] é isósceles, ou seja, isso equivale dizer que [tex3]\overline{CT}=\overline{AT}=10 \ cm[/tex3].

[MayumiBeatriz]

Posta o gabarito pra ver se tá batendo aqui

Infelizmente é uma questão aberta então não tem gabarito :/

[MayumiBeatriz]

Solução:
Como [tex3]T[/tex3] é ponto de tangência, temos que [tex3]CT[/tex3] é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] (pois [tex3]CT[/tex3] é raio).
Da informação que o círculo e o triângulo possuírem áreas equivalentes (esse é o nome mais adequado no contexto de áreas), segue que:
[tex3]\pi\cdot r^2=\frac{\overline{AB}\cdot CT}{2}\\
\pi\cdot r^2=\frac{\overline{AB}\cdot r}{2}\\
\pi \cdot r=\frac{\overline{AB}}{2}\\
\overline{AB}=2\cdot \pi\cdot 10\\
\boxed{\boxed{\overline{AB}=20\pi \ cm}}[/tex3]

b)
Da razão trigonométrica tangente, obtemos:
[tex3]\tg45°=\frac{\overline{CT}}{\overline{AT}}\\
1=\frac{10}{\overline{AT}}\\
\boxed{\boxed{\overline{AT}=10 \ cm}}[/tex3]
Daí, temos que [tex3]\overline{BT}=\overline{AB}-\overline{AT}=20\pi-10\implies \boxed{\boxed{\overline{BT}=10\cdot(2\pi-1) \ cm}}[/tex3]

Então,
[tex3]A_{∆CBT}=\frac{10\cdot(2\pi-1)\cdot 10}{2}\\
\boxed{\boxed{A_{∆CBT}=50\cdot(2\pi-1) \ cm^2}}[/tex3]

Muito obrigada! Finalmente consegui entender

[Dubarcellos]

Boa tarde,

Fiz a questão utilizando o pi como 3,14 dando o resultado sem raiz quadrada, está correto? ou visto que não informaram o valor a ser utilizado como pi, o melhor é deixar dessa forma mesmo...?

Att,

Eduardo.

[Babi123]

Se não informam ou se o problema não fala que quer valor aproximado é conveniente deixar o [tex3]\pi[/tex3], até mesmo prq [tex3]\pi=3,14[/tex3] é uma aproximação, visto que [tex3]\pi[/tex3] é um número irracional.

[Dubarcellos]

Ah sim, muito obrigado