IME / ITA ⇒ (IME - 2007) Soluções Inteiras de uma Equação Quadrática Tópico resolvido

[Yuri]

Sejam [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] as raízes da equação [tex3]x^2[/tex3]+(m-15)x+m=0.Sabendo que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] são números inteiros,determine o conjunto de valores possíveis para m.

[bigjohn]

E ae Yuri, blz?

Cara , essa eu vi resolvida numa resoluçao de cursinho. Digo mais, na prova eu nao consegui fazer essa, mas deixa quieto, rs..
A gente faz assim,utilizando a fórmula do produto das raízes: [tex3]x_1 \times x_2 = m[/tex3]. Daí que se as raízes são inteiras o produto delas tambem eh que conclui que m é inteiro também.
Agora, se [tex3]x_1[/tex3] é raiz, quando substituirmos o x da questao por [tex3]x_1[/tex3] resulta 0.

[tex3]{x_1}^2+(m-15)x_1+m=0.[/tex3]

Daí isola o m:

[tex3]m=\frac{15x-x^2}{1+x}[/tex3]

Se liga que dá pra escrever como:

[tex3]m=\frac{(x-1)(x+1)-14}{1+x}[/tex3]

ou

[tex3]m=x-1-\frac{14}{1+x}[/tex3]

Aí se o m é inteiro todo lado direito tem que ser inteiro também e (1+X) tem que ser divisor de 14:

[tex3]divisores(14) = {\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 }[/tex3]

x+1 = -1 faz que m = 11
x+1 = 1 faz que m = -15

...

e assim vai achando os valores de m.
flw