Ensino Médio ⇒ Interpolação Geométrica Tópico resolvido

[Shan]

Para obter a soma 1+2+3+4+...+98+99+100, o matemático Karl F. Gauss observou que 1 +100=101 ;3+98=101;etc,num total de 50 vezes.Obteve desse modo o resultado 5050,calculando 50 * 101=5050.Utilizando um processo análogo,descubra o produto dos termos da seguinte PG finita:
(2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024)

Resposta

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10240

[Babi123]

Existe uma fórmula para o cálculo do produto dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de uma PG. A dedução é fácil, veja:
Seja a PG [tex3](a_1, a_2, a_3, ...,a_n)[/tex3] de razão [tex3]q[/tex3]. Podemos escrever essa PG como: [tex3](a_1, \ a_1\cdot q, \ a_1\cdot q^2,..., a_1\cdot q^{n-1})[/tex3]. Daí o produto dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos é:
[tex3]P_n=a_1\cdot a_1\cdot q\cdot a_1\cdot q^2\cdot...\cdot a_1\cdot q^{n-1}\\
P_n=a_1^n\cdot q^{(0+1+2+...+n-1)}\\
P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{(0+n-1)\cdot n}{2}}\\
\boxed{\boxed{P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{(n-1)\cdot n}{2}}}}[/tex3]

Então, segue que:
[tex3]P_{10}=2^{10}\cdot 2^{\frac{(10-1)\cdot10}{2}}\\
P_{10}=2^{10}\cdot 2^{45}\\
\boxed{\boxed{P_{10}=2^{55}}}[/tex3]

Obs.: Seu gabarito está errado!

[Shan]

Okay!Muito Obrigado! Vou rever o gabarito aqui