IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2005) Quadrilátero Circunscritível Tópico resolvido

[eusebio C.N 2008]

Três dos quatro lados de um quadrilátero circunscritível são iguais aos lados do triângulo eqüilátero, quadrado e hexágono regular circunscritos a um círculo de raio [tex3]6.[/tex3] Qual é a medida do quarto lado desse quadrilátero, sabendo-se que é o maior valor possível nas condições dadas?

a) [tex3]16 \sqrt {3}-12\hspace{40pt}[/tex3]
b) [tex3]12 \sqrt {3}-12\hspace{40pt}[/tex3]
c) [tex3]8 \sqrt {3}+12\hspace{40pt}[/tex3]
d) [tex3]12\sqrt {3}+8\hspace{40pt}[/tex3]
e) [tex3]16\sqrt {3}-8[/tex3]

[agp16]

Sejam [tex3]\ell_3,\ell_4 \text{ e } \ell_6,[/tex3] respectivamente, o lado do triângulo, do quadrado e do hexágono circunscritos.

Temos que [tex3]\ell_3=12\sqrt{3},\, \ell_4=12\text{ e }\ell_6=4\sqrt{3}.[/tex3]

Pela propriedade do quadrilátero circunscritível, sabemos que a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados. Assim, temos

• [tex3]\ell_3+\ell_4=12\sqrt{3}+12[/tex3]
  [tex3]\ell_3+\ell_6=16\sqrt{3}[/tex3]
  [tex3]\ell_4+\ell_6=12+4\sqrt{3}[/tex3]

Como queremos o maior valor possível para o quarto lado, devemos tomar a maior das somas acima, isto é, [tex3]12\sqrt{3}+12.[/tex3] Portanto, se [tex3]x[/tex3] é a medida do quarto lado,

• [tex3]x+\ell_6=\ell_3+\ell_4\Longrightarrow x=12\sqrt{3}+12-4\sqrt{3}=8\sqrt{3}+12.[/tex3]

Resposta: (c).