Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1997) Geometria Plana: Áreas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No quadriculado da figura, faça à mão-livre a construção descrita a seguir. Traçe a diagonal [tex3]AC[/tex3] do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] e, sobre esta, construa a semicircunferência que passa pelo ponto [tex3]B[/tex3]. Trace o círculo de centro [tex3]D[/tex3] e raio [tex3]AD.[/tex3]

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Obtêm-se, assim, o que os matemáticos da antigüidade chamaram de luna de Hipócrates – a região limitada pela semicircunferência [tex3]ABC[/tex3] e pelo arco menor da circunferência de centro [tex3]D[/tex3] traçada, de extremidades [tex3]A[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]
Considerando que o quadrado [tex3]ABCD[/tex3] tem lado igual a [tex3]12 \text{ cm},[/tex3] determine, em [tex3]\text{ cm}^2,[/tex3] a área da luna obtida. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resposta:

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72

[matbatrobin]

Para calcular a área da luna [tex3]A_l[/tex3] precisaremos fazer a área [tex3]A_s[/tex3] do semi-círculo [tex3]ABC[/tex3] menos a área [tex3]A_c[/tex3] do arco menor da circunfêrencia de extremidades [tex3]AC[/tex3].

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(1) [tex3]A_l=A_s-A_c[/tex3]

(2) Temos que a diagonal [tex3]AC[/tex3] mede [tex3]12\sqrt{2}[/tex3], logo [tex3]r_s=6\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]A_s=\frac{\pi r^2_s}{2}=\frac{\pi 72}{2}=36\pi[/tex3]

(3) Temos que o arco menor é na verdade a área [tex3]A_{sc}[/tex3] do setor circular [tex3]ADC[/tex3] menos a área [tex3]A_t[/tex3] do triângulo [tex3]ADC[/tex3], como o ângulo [tex3]A\hat{D}C[/tex3] vale [tex3]90^{\circ}[/tex3] fica:

[tex3]A_c=A_{sc}-A_t \\ A_c=\frac{\pi r^2_{sc}}{4}-\frac{b\cdot h}{2} \\ A_c=\frac{144\pi}{4}-\frac{144}{2}=36\pi-72[/tex3]

(4) [tex3]A_l=36\pi-(36\pi-72) =72[/tex3]

Resposta: 072