Ensino Médio ⇒ Menor n natural para o qual z^n é número real Tópico resolvido

[missives]

Seja z um número complexo que satisfaz a equação z + 1/z + 1 = 0 e cujo afixo pertence ao terceiro quadrante no plano de Argand-Gauss. Qual é o menor valor natural de n para o qual z^n é um número real? Nesse caso determine o número real z^n.

Resposta: n = 3; z^n = 1

[drfritz]

oi boa tarde
Segue resposta: Sabemos que [tex3]Z+\frac{1}{Z}+1=0\rightarrow \frac{Z^2+Z+1}{Z}=0[/tex3], como [tex3]Z\neq 0\rightarrow Z^2+Z+1=0[/tex3], vamos encontrar as raízes, sendo [tex3]Z^2+Z+1=0\rightarrow Z_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}[/tex3] e [tex3]Z_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}[/tex3], como [tex3]Z\in 3 Q[/tex3] então [tex3]Z_{2}=Z=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}[/tex3], basta agora escrever [tex3]Z[/tex3] na forma trigonométrica.
Assim [tex3]|Z|=\sqrt{(\frac{-1}{2})^2+(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 }=1[/tex3] e [tex3]\cos \theta =\frac{-1}{2}\rightarrow \theta =\frac{2\pi}{3}[/tex3], podemos escrever [tex3]Z=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sen \frac{4\pi}{3}[/tex3], fazemos agora [tex3]Z^n=\cos \frac{4\pi n}{3}+i\sen \frac{4\pi n}{3}[/tex3], como [tex3]Z^n[/tex3] deve ser real, devemos ter a parte imaginária igual a zero, logo [tex3]n>1[/tex3] e para [tex3]n=2[/tex3] temos [tex3]\sen \frac{8\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3], para [tex3]n=3[/tex3] temos [tex3]\sen \frac{12\pi}{3}=\sen 4\pi=0[/tex3], então para [tex3]n=3[/tex3] tem-se [tex3]Z^3[/tex3] real, assim o menor valor de [tex3]n[/tex3] para o qual [tex3]Z^n[/tex3] seja real é [tex3]n=3[/tex3], um abraço