Ensino Médio ⇒ zeros de uma função quadrática

[PedroOliveira]

Boa noite galera gostaria que algúem pudesse me explicar como resolver estas duas questões:

1)Calcule "a" de modo que a soma dos quadrados das raízes da função f(x) x²+ (a-5)x - (a+4) seja igual a 17

bom consegui fazer até esta parte

x'^2+ x''^2=17 (x'+x'')(x'+x'')=x'^2+x''^2+2x'x''
(x' + x'')^2=17

a resposta é quatro
me ajudem

2)Calcule p, sabendo que a diferença das raízes da função y=2x²-(p-1)x+p+1 é igual a 1
essa a resposta é -1 ou 11

essa num entendi nada

desde já grato

[PedroOliveira]

aewww galeraa já consegui fazerr

se algúem quiser ajudaa
avisa aeww

[adrianotavares]

Olá, Pedro Oliveira.

[tex3]1)[/tex3]

[tex3]f(x) = x^2 +(a-5)x - (a+4)[/tex3]

[tex3]x_1^2 + x_2^2 = 17[/tex3]

Vamos utilizar um artifício de para que possamos utilizar a soma e produto das raízes, vejamos:

[tex3]x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2[/tex3]

[tex3](x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2= 17[/tex3] (1)

[tex3]S= \frac{-b}{a}[/tex3]

[tex3]S = \frac{-(a-5)}{1}[/tex3]

[tex3]S= 5-a[/tex3]

[tex3]P = \frac{c}{a}[/tex3]

[tex3]P= \frac{-(a+4)}{1}[/tex3]

[tex3]P= (-a-4)[/tex3]

Substituindo a soma e o produto em (1) teremos:

[tex3](x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2= 17[/tex3]

[tex3](5-a)^2 - 2(-a-4) = 17[/tex3]

[tex3]25 -10a +a^2 +2a +8 -17 = 0[/tex3]

[tex3]a^2 -8a +16= 0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2º grau você encontrará [tex3]a= 4[/tex3]


[tex3]2)[/tex3]

[tex3]y = 2x^2 -(p-1)x+ p+1[/tex3]

[tex3]x_1+x_2 = \frac{p-1}{2}[/tex3] (1)

[tex3]x_1- x_2 = 1[/tex3] (2)

Resolvendo o sistema formado por (1) e (2) teremos:

[tex3]x_1= \frac{p+1}{4}[/tex3]

Como [tex3]x_1[/tex3] é raiz da equação basta substituir na função para encontrar o valor de [tex3]p[/tex3].

[tex3]y = 2x^2 -(p-1)x+ p+1[/tex3]

[tex3]2.(\frac{p+1}{4})^2 - (p-1). (\frac{p+1}{4}) + p+1=0[/tex3]

[tex3]2.(\frac{p^2 +2p+1}{16}) -\frac{(p^2 -1)}{4}+ p+1=0[/tex3]

[tex3]\frac{p^2 +2p+1}{8} -\frac{p^2 -1}{4}+ p+1=0[/tex3]

[tex3]p^2 +2p +1 -2p^2 +2 +8p +8=0[/tex3]

[tex3]p^2 -10p -11 = 0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2º grau você encontrará [tex3]p=11[/tex3] ou [tex3]p = (-1)[/tex3]

[PedroOliveira]

mas de onde voce deduziu isso?

x1²+x2²=(x1+x2)^2-2x1x2

[adrianotavares]

Olá, Pedro Oliveira.

[tex3](x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2+x_2^2[/tex3]

Subtraindo [tex3]2x_1x_2[/tex3] de ambos os membros teremos:

[tex3](x_1+x_2)^2 -2x_1x_2 = x_1^2 + 2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2[/tex3]

Logo:

[tex3](x_1+x_2)^2 -2x_1x_2= x_1^2 +x_2^2[/tex3]

[PedroOliveira]

valeu adriano tavares
muito obrigado
entendi