Ensino Superior ⇒ Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli Tópico resolvido

[Edsonao]

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nessas variáveis. Se a condição inicial y(1)=8 atende à solução da E.D de Bernoulli: x[dy][/dx]+3y=6xy^2/3. Então, o valor inteiro mais próximo de y(2) é:

[Cardoso1979]

[tex3]x\frac{dy}{dx}+3y=6xy^{\frac{2}{3}}[/tex3]

Observe

Uma solução:

Podemos representar essa mesma EDO da seguinte forma

[tex3]xy'+3y=6xy^{\frac{2}{3}}[/tex3]

Divida tudo por x, resulta;

[tex3]y'+\frac{3y}{x}=6y^{\frac{2}{3}}[/tex3]

Agora, divida tudo por [tex3]y^{\frac{2}{3}}[/tex3], fica;

[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{1-\frac{2}{3}}=6[/tex3]

[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{\frac{1}{3}}=6 \ (I)[/tex3]

Fazendo a substituição

[tex3]u=y^{\frac{1}{3}}→u'=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}.y'→y^{-\frac{2}{3}}.y'=3u' \ (II)[/tex3]

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos

[tex3]3u' + \frac{3}{x}.u=6[/tex3]

Divida tudo por 3, resulta;

[tex3]u' + \frac{1}{x}.u=2[/tex3] → uma EDO linear de primeira ordem!

Daí,

[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{ln(x)}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=x[/tex3]


Logo,

[tex3]u(x)=\frac{1}{\mu (x)}.\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx[/tex3]

[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}x.2 \ dx[/tex3]

[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}2x \ dx[/tex3]

[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.(x^2+C) \ (III)[/tex3]

Como [tex3]u(x)=y^{\frac{1}{3}}[/tex3] , substituindo em ( I I I ) , vem;

[tex3]y^{\frac{1}{3}}=\frac{x^2+C}{x}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]y(x)=\frac{(x^2+C)^3}{x^3}[/tex3]


Por outro lado, como y( 1 ) = 8, fica;

[tex3]y(1)=\frac{(1^2+C)^3}{1^3}[/tex3]

( 1 + C )^3 = 8

1 + C = [tex3]\sqrt[3]{8}[/tex3]

C = 2 - 1

C = 1


Assim,

[tex3]y(x)=\frac{(x^2+1)^3}{x^3}[/tex3]


Por fim, calculando y( 2 ) , temos:

[tex3]y(2)=\frac{(2^2+1)^3}{2^3}[/tex3]

[tex3]y(2)=\frac{(4+1)^3}{8}[/tex3]

[tex3]y(2)=\frac{5^3}{8}[/tex3]

[tex3]y(2)=\frac{125}{8}[/tex3]

y( 2 ) = 15,625



Cadê as alternativas? Tenho absoluta certeza que esta questão tem alternativa, por que não as coloca ?



Bons estudos!

[Cardoso1979]

Detalhes adicionais

Se y' + p( x ).y = q( x ) então, [tex3]\mu (x)=e^{
\int\limits_{}^{}p(x) \ dx} [/tex3].


Obs. Veja a importância de se colocar as alternativas, pense bem na hora de postar uma pergunta neste fórum.

[Edsonao]

Bom dia Cardoso, me desculpe, esqueci de colocar as alternativas mesmo, vou me atentar pra cometer mais esse erro, e são as seguintes:
12, 18, 16, 20 e 10. Pela sua resolução a que mais se aproxima é a alternativa 16.
Vou estudar pra entender a resolução.
Obrigado.

[Cardoso1979]

Bom dia Cardoso. Esqueci de colocar as alternativas mesmo, e são as seguintes:
12, 18, 16, 20 e 10. Pela sua resolução a que mais se aproxima é a alternativa 16.
Vou estudar pra entender a resolução.
Obrigado.

Exatamente ! y( 2 ) ≈ 16.