Ensino Superior ⇒ Equação diferencial de Bernoulli Tópico resolvido

[ajbernrdi]

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Assim, a solução da E.D. de Bernoulli: y’ + 4y = 5y², é:


( a) y=(5+C*e^4x)/4 ( b) y=3/(5+C*e^-x) ( c ) y=3/(5+C*e^x) ( d ) y=1/(5+C*e^x) ( e ) y=4/(5+C*e^4x)

Resposta

---

( )

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

y’ + 4y = 5y² ( I )

Temos que

[tex3]v=y^{1-n}[/tex3]

[tex3]v=y^{1-2}[/tex3]

[tex3]v=y^{-1}[/tex3]

Derivando implicitamente, fica;

[tex3]v'=-1.y^{-2}.y'[/tex3]

Ou seja,

[tex3]y'=-v'.y^{2} \ ( II )[/tex3]


Substituindo ( I I ) em ( I ), vem;

[tex3]-v'.y^{2}+4y=5y^2[/tex3]

Divida tudo por - y² , resulta;

[tex3]v'-\frac{4}{y}=-5[/tex3]

[tex3]v'-4.\frac{1}{y}=-5[/tex3]

Mas,

[tex3]v = y^{-1}→v=\frac{1}{y}[/tex3]

Daí;

v' - 4v = - 5


Onde p( x ) = - 4 e q( x ) = - 5 , então;

[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}p(x) \ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-\int\limits_{}^{}4 \ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-4x}[/tex3]

Assim,

[tex3]v=\frac{1}{\mu (x)}.[\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx][/tex3]

[tex3]v=\frac{1}{e^{-4x}}[\int\limits_{}^{}e^{-4x}.(-5) \ dx][/tex3]

[tex3]v=e^{4x}.(-5.\int\limits_{}^{}e^{-4x} \ dx)[/tex3]

[tex3]v=e^{4x}.[-5.\left(-\frac{e^{-4x}}{4}\right) + c][/tex3]

[tex3]v=e^{4x}.\left(\frac{5e^{-4x}}{4}+c\right)[/tex3]

[tex3]v=\frac{5}{4}+c.e^{4x}[/tex3]

[tex3]v=\frac{5+4c.e^{4x}}{4}[/tex3]

[tex3]Como \ v=\frac{1}{y} \ e \ 4c = C, logo,[/tex3]

[tex3]\frac{1}{y}=\frac{5+C.e^{4x}}{4}[/tex3]

[tex3](5+C.e^{4x}).y={4}[/tex3]

Portanto,[tex3]y=\frac{4}{5+Ce^{4x}}[/tex3] , alternativa e).




Bons estudos!