Ensino Superior ⇒ Equação do Plano Tangente - Cálculo II Tópico resolvido

[NerdGangster]

Encontre a equação do plano que seja tangente á superfície [tex3]\theta [/tex3] e ao mesmo tempo perpendicular á recta indicada L:

[tex3]\theta : x^2+4x+y^2-2y+z^2=4[/tex3] e [tex3]:\frac{(x+5)}{2}=\frac{(y-4)}{1}=\frac{z}{-2}[/tex3]

[AnthonyC]

Seja o plano [tex3]\alpha:ax+by+cz+d=0[/tex3], nesse caso o vetor [tex3]\vec{v}=(a,b,c)[/tex3] será perpendicular ao plano [tex3]\alpha [/tex3]. Neste caso, como o vetor dado é [tex3]\vec{v}=(2,1,-2)[/tex3] (as coordenadas são os denominadores das frações), o plano deve ser da forma [tex3]2x+y-2z+d=0 \space(I)[/tex3].
O plano tangente à uma superfície no ponto [tex3](x_{0},y_{0},z_{0})[/tex3] pode ser dado por [tex3]z=z_{0}+(x-x_{0})\cdot z_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(y-y_{0})\cdot z_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})[/tex3], onde [tex3]z_{x}[/tex3] e [tex3]z_{y}[/tex3] são dados por:

Derivando [tex3]x^2+4x+y^2-2y+z^2=4[/tex3] parcialmente em relação à [tex3]x[/tex3], considerando [tex3]z=f(x,y)[/tex3]:
[tex3]\frac{\partial}{\partial x}( x^2+4x+y^2-2y+z^2)=\frac{\partial}{\partial x}(4)[/tex3]
[tex3]2x+4+2z\cdot z_{x}=0[/tex3]
[tex3]z_{x}=\frac{-2x-4}{2z}[/tex3]
[tex3]z_{x}=\frac{-x-2}{z}[/tex3]
[tex3]z_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})=\frac{-x_{0}-2}{z_{0}}[/tex3]
Analogamente:
[tex3]z_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})=\frac{-y_{0}+1}{z_{0}}[/tex3]



[tex3]z=z_{0}+(x-x_{0})\cdot z_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(y-y_{0})\cdot z_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})[/tex3]
[tex3]z=z_{0}+x z_{x}-x_{0} z_{x}+ yz_{y}-y_{0} z_{y}[/tex3]
[tex3]z=z_{0}+x z_{x}-x_{0} z_{x}+ yz_{y}-y_{0} z_{y}[/tex3]
[tex3]-x z_{x}-yz_{y}+z-(z_{0}-x_{0} z_{x} -y_{0} z_{y})=0 \space\space (*-2)[/tex3]
[tex3]2x z_{x}+2yz_{y}-2z+2(z_{0}-x_{0} z_{x} -y_{0} z_{y})=0 \space (II)[/tex3]

Como o coeficiente de [tex3]z[/tex3] é o mesmo para os dois planos, de [tex3](I)[/tex3] temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
2 z_{x}=2 \\
2 z_{y}=1
\end{cases}[/tex3]
De onde tiramos [tex3]x_{0}=-2-z_{0} \space(III)[/tex3] e [tex3]y_{0}=1-\frac{z_{0}}{2} \space(IV)[/tex3]. Para descobrir [tex3]z_{0}[/tex3], basta substituir [tex3](II) [/tex3] e [tex3](III)[/tex3] na equação da superfície:
[tex3]x^2+4x+y^2-2y+z^2=4[/tex3]
[tex3](-2-z_{0})^2+4(-2-z_{0})+\left(1-\frac{z_{0}}{2}\right)^2-2\left(1-\frac{z_{0}}{2}\right)+z_{0}^2=4[/tex3]
[tex3]4+4z_{0}+z_{0}^2-8-4z_{0}+1- z_{0}+\frac{z_{0}^2}{4}-2+z_{0}+z_{0}^2=4 [/tex3]
[tex3]-9+\frac{9z_{0}^2}{4}=0 [/tex3]
[tex3]\frac{9z_{0}^2}{4}=9 [/tex3]
[tex3]\frac{z_{0}^2}{4}=1 [/tex3]
[tex3]z_{0}^2=4 [/tex3]
[tex3]z_{0}=\pm 2 [/tex3]

Para [tex3]z_{0}= 2 [/tex3]
[tex3]x_{0}=-4 \space[/tex3]
[tex3]y_{0}=0 \space[/tex3]
[tex3]z_{x}=1[/tex3]
[tex3]z_{y}=\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo em [tex3](II)[/tex3]:
[tex3]2x+y-2z+2(2-(-4)\cdot 1 -0\cdot 1)=0[/tex3]
[tex3]2x+y-2z+12=0[/tex3]

Para [tex3]z_{0}= -2 [/tex3]
[tex3]x_{0}=0 \space[/tex3]
[tex3]y_{0}=2 \space[/tex3]
[tex3]z_{x}=1[/tex3]
[tex3]z_{y}=\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo em [tex3](II)[/tex3]:
[tex3]2x+y-2z+2(-2-0\cdot 1 -2\cdot 1)=0[/tex3]
[tex3]2x+y-2z-8=0[/tex3]