IME / ITA ⇒ Esfera inscrita no octaedro, IME/ITA nível 2 Tópico resolvido

[lookez]

No octaedro de aresta a, calcule o raio de uma esfera tangente as quatro faces e tangente a esfera inscrita.

Consigo visualizar o problema, entretanto não vejo métrica para encontrar o raio pedido, todas seções que tentei fazer para enxergar algo acabam me dando uma incógnita a mais do que encontro equações para resolver.

OBS: Gabarito pode estar incorreto

Resposta

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[tex3]\frac{a\sqrt{6}(3 - \sqrt{2})}{9}[/tex3]

A esfera pedida seria a em vermelho na figura abaixo, tangente a quatro faces e a esfera inscrita do octaedro:

sphere.png (165.71 KiB) Exibido 3094 vezes

[LostWalker]

Eu tenho uma ideia linear pra resolver e tento amanhã de manha. Mas o que eu queria mesmo era dizer que tem uma parte do Fórum para a dificuldade ITA/IME. Você colocou a pergunta na seção de Ensino Médio

[lookez]

Eu tenho uma ideia linear pra resolver e tento amanhã de manha. Mas o que eu queria mesmo era dizer que tem uma parte do Fórum para a dificuldade ITA/IME. Você colocou a pergunta na seção de Ensino Médio

Perdão, sempre fico em dúvida pois a seção IME/ITA diz na descrição "questões desses vestibulares", como não é uma questão de vestibular e sim de apostila, inclusive uma apostila do ensino médio (turma 3ª série preparatória IME/ITA) acabo postando aqui, postarei lá da próxima vez.

[joaopcarvMOD]

Tópico movido se é ligado a militares, pode postar aqui mesmo

[LostWalker]

Tem a parte mais básica que é como chegar no Raio da esfera Inscrita, caso você tenha decorado é [tex3]r_i=\frac{a\sqrt6}{6}[/tex3] e nem eu tinha decorado isso. Mas para tentar visualizar melhor a imagem, vamos fazer uma baguncinha:

Icosaedro.png (164.18 KiB) Exibido 3059 vezes

É, vou deixar as imagens grandes para melhor visualização

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No Triângulo [tex3]\Delta{ABC}[/tex3], [tex3]\overline{AD}[/tex3] é Altura ([tex3]h[/tex3]), que pode ser calculada como

[tex3]h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2[/tex3]

[tex3]h=\frac{a\sqrt3}2[/tex3]


Considerando o Triângulo [tex3]\Delta{ADO}[/tex3], [tex3]\overline{AO}[/tex3] é Altura [tex3]H[/tex3] e sabendo que [tex3]\overline{DO}=\frac a2[/tex3]

[tex3]H^2+\left(\frac a2\right)^2=h^2[/tex3]

[tex3]H=\frac{a\sqrt2}{2}[/tex3]


Sendo [tex3]\overline{EO}=r_i[/tex3] e também tendo o ângulo reto, podemos usar a propriedade que:

[tex3]\overline{DO}\cdot\overline{AO}=\overline{AD}\cdot\overline{EO}[/tex3]

[tex3]\frac a2\cdot \frac{a\sqrt2}2=\frac{a\sqrt3}2\cdot r_i[/tex3]

[tex3]r_i=\frac{\sqrt6} 6[/tex3]

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Nova Ilustração:

Icosaedro 2.png (163.26 KiB) Exibido 3059 vezes

Nosso objetivo atual é achar o Ponto G, mais precisamente, [tex3]\overline{BG}[/tex3]


Sabemos que [tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3], sendo que, [tex3]\overline{BO}[/tex3] metade da diagonal no Quadrado (faz um pitágoras e encontra [tex3]a\sqrt2[/tex3], esse seria a Diagonal, e claro, queremos metade disso), e [tex3]\overline{GO}=r_i[/tex3]

[tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3]

[tex3]\frac{a\sqrt2}{2}-\frac{a\sqrt6}{6}=\overline{BG}[/tex3]

[tex3]\overline{BG}=\frac {a(3\sqrt2-\sqrt6)}{6}[/tex3]


Vamos jogar esse [tex3]3[/tex3] para dentro da raiz e depois usar evidência

[tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3]

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Agora, vamos esquecer essas contas um poucos, vamos criar uma nova medida chamada [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3]

Icosaedro 3.png (163.5 KiB) Exibido 3059 vezes

"Só pela imagem, já da pra ver que agora sujo legal..."

O nosso [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3] se refere a medida de [tex3]\overline{BG}[/tex3]. Porém, se você observar que isso se refere a um corte Vertical, ele mantém linhas paralelas ao Octaedro, na verdade, esse corte forma metade de Octaedro. Sendo assim, vamos manter igualdades

[tex3]\overline{BG}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=\frac {b\sqrt2}2[/tex3]

Vamos pensar na mesma ideia de quando achamos o [tex3]H[/tex3], só que de trás-pra-frente, sendo [tex3]M[/tex3] o Ponto Médio de [tex3]\overline{JK}[/tex3]

Sendo o Triângulo [tex3]\Delta{GJK}[/tex3] Retângulo, usando Pitágoras temos

[tex3]\overline{GJ}^2+\overline{GK}^2=\overline{JK}^2[/tex3]

[tex3]\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2+\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2=\overline{JK}^2[/tex3]

[tex3]\overline{JK}=b[/tex3]

Mas vamos lembrar que isso se refere a metade de um Octaedro, logo, [tex3]\overline{JK}=\overline{IJ}=\overline{KL}=\overline{IL}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=b[/tex3]

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Vamos pensar agora em dois Pontos Médios, o Ponto [tex3]M[/tex3], ponto médio de [tex3]\overline{JK}[/tex3] e [tex3]N[/tex3], ponto médio de [tex3]\overline{IL}[/tex3], já vamos adicionar o Círculo dentro do Triângulo [tex3]\Delta{BMN}[/tex3]

Icosaedro 4.png (164.38 KiB) Exibido 3059 vezes

Sabemos que [tex3]A=pr[/tex3], e podemos calcular [tex3]A[/tex3] usando [tex3]\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3].

Para achar [tex3]\overline{MN}[/tex3], vamos encontra, vamos entender que ele é igual a [tex3]\overline{IJ}[/tex3] e [tex3]\overline{LK}[/tex3]


Com isso, temos que [tex3]A[/tex3]:

[tex3]A=\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{b\cdot\frac{b\sqrt2}{2}}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{b^2\sqrt2}{4}[/tex3]


Agora, o semi-perimetro de [tex3]\Delta{BMN}[/tex3]. Sabemos também que [tex3]\overline{BM}=\overline{BN}[/tex3] e para [tex3]\overline{BM}[/tex3]

[tex3]\overline{BG}^2+\overline{GM}^2=\overline{BM}^2[/tex3]

[tex3]\left(\frac{b\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\overline{BM}^2[/tex3]

[tex3]\overline{BM}=\frac{b\sqrt3}2[/tex3]


E com isso o semi-perímetro é:

[tex3]p=\frac{\overline{BM}+\overline{BN}+\overline{MN}}{2}[/tex3]

[tex3]p=\frac{\frac{b\sqrt3}2+\frac{b\sqrt3}2+b}{2}[/tex3]

[tex3]p=\frac{b(\sqrt3+1)}{2}[/tex3]

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Sabendo que esse mesmo Triângulo [tex3]\Delta{BMN}[/tex3] também ocorre na Horizontal, podemos afirmar que o raio do Circulo é igual ao Raio de uma esfera que se encaixa no mesmo lugar, e para esse [tex3]r[/tex3]:

[tex3]A=pr[/tex3]

[tex3]r=\frac Ap[/tex3]

[tex3]r=\frac{\frac{b^2\sqrt2}{4}}{\frac{b(\sqrt3+1)}{2}}[/tex3]

[tex3]r=\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}[/tex3]

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Vamos agora pra uma básica regra de [tex3]3[/tex3], como eu havia definido, [tex3]\overline{BG}=\frac{b\sqrt2}2[/tex3] porém já tínhamos definido que [tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3] e então, encontramos o raio para [tex3]a[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{b\sqrt2}2}{\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}=\frac{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}r[/tex3]

[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}{\frac{b\sqrt2}2}[/tex3]

[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}\cdot\frac{(\sqrt3-1)}{2}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}[/tex3]

[tex3]r=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)^2}{12}[/tex3]

[tex3]r=\frac {a\sqrt6(3-2\sqrt3+1)}{12}[/tex3]

[tex3]r=\frac {a\sqrt6(4-2\sqrt3)}{12}[/tex3]

[tex3]r=\frac {2a\sqrt6(2-\sqrt3)}{12}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{r=\frac {a\sqrt6(2-\sqrt3)}{6}}[/tex3]

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Bom, foi o que eu encontrei, espero que o Gabarito esteja errado mesmo XD
*Caso tenha percebido que o nome das imagens é Icosaedro, ignora, eu fiquei com preguiça de arrumar

[LostWalker]

Só pra constar, havia algumas formas de reduzir a quantidade de contas, eu meio que ignorei mesmo. Por exemplo, sabendo que esse Meio Octosaedro é proporcional ao maior, dava para ter medido os tamanhos do grande a partir do maior, tanto que me aproveitei disso e escolhi especificamente [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3], afinal, ele estava para [tex3]\frac{a\sqrt2}2[/tex3] e todos os outros valores você pode ver que são iguais. Isso diminuiria a quantidade de contas, mas eu quis meio que seguir o passo-a-passo e talvez, quem sabe, eu tenha uma lado Masoquista dentro de mim para ter re-deduzido as igualdades. Imagino que sendo feito esse exercício em prova, o ideal acreditar que essas igualdades continuavam. Eu quis aproveitar que é só uma explicação para provar isso, tanto que minha conta ficou maior. Enfim, ainda espero que Gab esteja errado, ou eu ficaria bem triste em ver que eu devo ter errado uma coisa boba para a minha resposta ser 3 vezes maior que o Gab.

[lookez]

Só pra constar, havia algumas formas de reduzir a quantidade de contas, eu meio que ignorei mesmo. Por exemplo, sabendo que esse Meio Octosaedro é proporcional ao maior, dava para ter medido os tamanhos do grande a partir do maior, tanto que me aproveitei disso e escolhi especificamente [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3], afinal, ele estava para [tex3]\frac{a\sqrt2}2[/tex3] e todos os outros valores você pode ver que são iguais. Isso diminuiria a quantidade de contas, mas eu quis meio que seguir o passo-a-passo e talvez, quem sabe, eu tenha uma lado Masoquista dentro de mim para ter re-deduzido as igualdades. Imagino que sendo feito esse exercício em prova, o ideal acreditar que essas igualdades continuavam. Eu quis aproveitar que é só uma explicação para provar isso, tanto que minha conta ficou maior. Enfim, ainda espero que Gab esteja errado, ou eu ficaria bem triste em ver que eu devo ter errado uma coisa boba para a minha resposta ser 3 vezes maior que o Gab.

Lendo rápido percebi um erro, quando você foi calcular r em função de b, na verdade resulta em [tex3]\frac{b(\sqrt6 - \sqrt2) }4[/tex3], não sei se só essa mudança resulta no gabarito, vou ler com calma em casa. Muito obrigado!

[LostWalker]

lookez, realmente, eu deixei sobre [tex3]2[/tex3], e como vc disse, era sobre [tex3]4[/tex3], vou arrumar a conta. Bom, com isso fica mais perto da resposta, talvez tenha outra erro na conta...

[LostWalker]

Imagino que sendo feito esse exercício em prova, o ideal acreditar que essas igualdades continuavam.

Eu usei isso agora a pouco e também cheguei na mesma resposta (No caso a que ficou depois de corrigir o erro que você informou)

[joaopcarvMOD]

Imagino que sendo feito esse exercício em prova, o ideal acreditar que essas igualdades continuavam.

Eu usei isso agora a pouco e também cheguei na mesma resposta (No caso a que ficou depois de corrigir o erro que você informou)

Eu fiz de uma outra forma e também cheguei no mesmo resultado