Pré-Vestibular ⇒ (PSC 2010) Números Complexos Tópico resolvido

[Polímero17]

(Ufam-PSC-2010) Na Figura a seguir os números complexos [tex3]z_1[/tex3], [tex3]z_2[/tex3], [tex3]z_3[/tex3], [tex3]z_4[/tex3], [tex3]z_5[/tex3] e [tex3]z_6[/tex3] estão representados pelos vértices de um hexaedro regular. Podemos afirmar que [tex3]\frac{z_2\cdot z_3}{z_5\cdot z_6}[/tex3] é:

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a)
b)
c)
d)
e)

Resposta

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gabarito A

[Planck]

Olá Polímero17,

O csmarcelo respondeu essa questão aqui: viewtopic.php?t=60592. A ideia que ele utilizou, parece ser relacionar a simetria dos números complexos, afinal, [tex3]z_5[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] são simétricos, de tal forma que, [tex3]z_5 = - z_2[/tex3]. A mesma premissa aplica-se a [tex3]z_6[/tex3] e [tex3]z_3[/tex3].

[AlexandreHDK]

Sendo um hexaedro regular, sabemos que eles estão angularmente distados de [tex3]\pi/3[/tex3] um do outro. Então, podemos escrevê-los na forma polar.

[tex3]Z_1=1\cdot (\cos (0)+i\cdot \sen (0))[/tex3]
[tex3]Z_2=1\cdot (\cos (\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_3=1\cdot (\cos (2\pi/3)+i\cdot \sen (2\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_4=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]Z_5=1\cdot (\cos (4\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_6=1\cdot (\cos (5\pi/3)+i\cdot \sen (5\pi/3))[/tex3]
Fizemos isso para trabalhar mais facilmente com a multiplicação e divisão de números complexos.
[tex3]Z_a=r_a(\cos (\theta_a)+i\cdot \sen (\theta_a))[/tex3]
[tex3]Z_b=r_b(\cos (\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_b))[/tex3]
[tex3]{Z_a}\cdot {Z_b}={r_a}\cdot {r_b}(\cos (\theta_a+\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a+\theta_b))[/tex3]
[tex3]\frac{Z_a}{Z_b}=\frac{r_a}{r_b}(\cos (\theta_a-\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a-\theta_b))[/tex3]
Assim:
[tex3]{Z_2}\cdot {Z_3}={1}\cdot {1}(\cos (\pi/3+2\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3+2\pi/3))=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]{Z_5}\cdot {Z_6}={1}\cdot {1}(\cos (4\pi/3+5\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3+5\pi/3))=1\cdot (\cos (3\pi)+i\cdot \sen (3\pi)) \equiv 1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
Portanto
[tex3]\frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_5\cdot Z_6}=\frac{1}{1}(\cos (\pi-\pi)+i\cdot \sen (\pi-\pi))=\cos (0)+i\cdot \sen (0)=1[/tex3]