Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Progressão Aritmética

[LuanCorreia]

A linha poligonal da figura a seguir foi desenhada no plano cartesiano, tem origem no ponto A = (0, 0), cada um dos seus lados mede 1 e segue sempre o mesmo padrão.

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O ponto B dessa poligonal é tal que o comprimento do pedaço AB da poligonal é igual a 2013. Determine as coordenadas do ponto B.


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Como a cada unidade do eixo das abscissas corresponde a duas unidades da figura:
a₁=2
a₂=4
a₃=6
Em que r=2;
Pela fórmula do termo geral da PA:
a_n=2013
então n=1006,5
Não consigo mais desenvolver, porque a coordenada da abscissa do ponto B é 1007? e a ordenada 0?

Resposta

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(1007, 0)

[AlexandreHDK]

Vamos analizar o comportamento dessa onda. Quando o comprimento vale 0, as coordenadas são (0,0). Comprimento 1, (1,0). Comprimento 2, (1,1). Comprimento 3, (2,1). Comprimento 4, (2,0). Até aqui deu um ciclo. Comprimento 5, (3,0). Comprimento 6, (3,1). Ok, acho que dá pra ver um padrão aqui. Toda vez que o resto do comprimento por 4 é igual a 0 ou 1, a coordenada tem formato (x,0), e quando o resto é igual a 2 ou 3, a coordenada tem formato (x,1). O valor de x é incrementado toda vez que o resto do comprimento por 4 é igual a 1 ou igual a 3. Também nota-se que quando a cada 4 incrementos do comprimento a partir do (0,0), há 2 incrementos na coordenada x.
O que deve ter acontecido então até que o comprimento tenha chegado até 2013? Quando o comprimento era 2012, que é um múltiplo de 4, a coordenada estava em (1006,0). Seguindo o padrão, ao andar mais 1 unidade de comprimento, soma +1 no valor de , ou seja, (1007,0).