IME / ITA ⇒ Lugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA Tópico resolvido

[lookez]

Determine a equação, identificando a sua natureza, do lugar geométrico de um ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância ao ponto (1, 1) é proporcional à sua distância à reta x + y = 0.

Resposta

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Círculo se 0 < k < 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3], círculo e o ponto (-1, -1) se k = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3], dois círculos se k > 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

De acordo com o enunciado, cheguei a equação [tex3](x-1)^{2}+(y-1)^{2}=k\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}[/tex3]

Entretanto não entendi a resposta, o que tem de especial no valor de k = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] que define 3 possibilidades diferentes para o problema? como chego nesse valor?

[undefinied3]

Do jeito que está você não sabe definir a cônica pois o lado direito ainda tem termos em x e y. Você vai precisar tirar o módulo pra estudar os casos e jogar tudo que tem x e y pra um lado e deixar uma constante em função de k do outro pra poder estudar quando a cônica existe ou é degenerada ou enfim.

[lookez]

Do jeito que está você não sabe definir a cônica pois o lado direito ainda tem termos em x e y. Você vai precisar tirar o módulo pra estudar os casos e jogar tudo que tem x e y pra um lado e deixar uma constante em função de k do outro pra poder estudar quando a cônica existe ou é degenerada ou enfim.

Tentei elevar ao quadrado para sumir com o módulo e fica péssimo, tentei também abrir em casos para [tex3]x+y\geq0[/tex3] e [tex3]x+y\lt0[/tex3], algumas incógnitas ficam com o fator [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e a equação não parece me dizer nada de útil pois não é fatorável, ou talvez estou insuficiente na álgebra?

Os casos são de fato os que o gabarito diz, joguei no GeoGebra para [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}>4[/tex3]:

bigger.png (87.88 KiB) Exibido 1823 vezes

Para [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}=4[/tex3]:

equal.png (59.98 KiB) Exibido 1823 vezes

E para [tex3]0<\frac{k}{\sqrt{2}}<4[/tex3]:

less.png (47 KiB) Exibido 1823 vezes

Da pra ver o que está acontecendo no problema, quando o valor de [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3] atinge 4 e depois cresce a equação passa a ter pontos solução no lado inferior da reta y = -x, só não consigo chegar a um resultado algébrico que me diga isso. Outra forma de ver é que, no caso em que x + y < 0, o lado direito da equação fica [tex3]\frac{-k(x+y)}{\sqrt{2}}[/tex3], e a equação só passa a ter solução no valor k ≥ [tex3]4\sqrt{2}[/tex3], começando pelo ponto (-1, -1) e virando uma circunferência imediatamente após isso, com raio aumentando conforme k cresce.

[undefinied3]

É abrir em casos mesmo.

Só pra simplificar, tome [tex3]p=\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3]


[tex3]x^2-(2\pm p)x +1 + y^2-(2\pm p)y +1=0[/tex3]
[tex3](x-\frac{2 \pm p}{2})^2 + (y- \frac{2 \pm p}{2})^2 - \frac{(2 \pm p)^2}{2}+2=0[/tex3]
[tex3](x-\frac{2 \pm p}{2})^2 + (y- \frac{2 \pm p}{2})^2=\frac{(2 \pm p)^2-4}{2}=\frac{\pm p(4 \pm p)}{2}[/tex3]

Para o caso positivo:
[tex3]r^2 = \frac{p(p+4)}{2}[/tex3]

De antemão, sabemos que p é positivo, pois uma distância deve ser positiva.

Se [tex3]p(p+4)=<0 \rightarrow -4 < p < 0[/tex3], não temos solução. Se [tex3]p=0[/tex3], temos uma solução pontual no ponto (-1,-1). Nos outros casos, é uma circunferência centrada em [tex3](\frac{2 + p}{2},\frac{2 + p}{2})[/tex3]. p=-4 não é solução pois p é negativo.
Então é uma circunferência em p>0.

Para o caso negativo:

[tex3]r^2 = \frac{-p(4-p)}{2}[/tex3]

[tex3]-p(4-p)>0 \rightarrow p(4-p) <0 \rightarrow p>4[/tex3], uma circunferência.

[tex3](4-p)=0 \rightarrow p=4[/tex3] temos o ponto [tex3](-1,-1)[/tex3]

Fazendo todas as interseções, obtemos justamente o gabarito. Apenas uma circunferência quando [tex3]0<p<4[/tex3], que veio do caso negativo.
Uma circunferência, que vem do caso negativo, com um ponto, que vem do caso positivo, quando p=4.
Duas circunferências, uma do caso negativo e a outra do caso positivo, quando p>4.

No caso, [tex3]p=\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3], por isso que surge aquele [tex3]\sqrt{2}[/tex3] nas respostas do gabarito que aqui na minha solução não apareceu.