Ensino Médio ⇒ Fractal Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na figura, cada lado de um quadrado de lado [tex3]3\text{ cm}[/tex3] é dividido em três partes iguais. Sobre cada um destes lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos.
Determine a área total da figura que será obtida se o processo for repetido análoga e indefinidamente.

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[jgpret]

Olá, ALDRIN!

Sendo [tex3]A_1[/tex3] a área do primeiro quadrado, [tex3]A_2[/tex3] a dos segundo quadrados juntos, [tex3]A_3[/tex3] a dos terceiros quadrados juntos, ... e [tex3]A_n[/tex3] a dos n-ésimos quadrados juntos, considere o que vem a seguir:

[tex3]\Large A_1 = 1 . 3^2 = 1.1.3^2[/tex3]
[tex3]\Large A_2= 4.1^2 = 4.1.1^2 = 4.1[/tex3]
[tex3]\Large A_3 = 12 . (\frac{1}{3})^2 = 4.3.(\frac{1}{3})^2 = 4 . \frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\Large A_4 = 36 . (\frac{1}{9})^2 = 4 . 3^2 . (\frac{1}{3^2})^2 = 4 . \frac{1}{3^2}[/tex3]
[tex3]\Large ...[/tex3]
[tex3]\Large A_n = ... = 4.3^{n-2}(\frac{1}{3^{n-2}})^2 = 4 . \frac{1}{3^{n-2}}[/tex3]
[tex3]\Large ...[/tex3]

Agora, do termo [tex3]A_2[/tex3] ao termo [tex3]A_n[/tex3] existe uma [tex3]P.G.[/tex3] infinita de primeiro termo [tex3]4[/tex3] e razão [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]. Assim, para somar essa parte basta somar os termos de um [tex3]P.G.[/tex3] infinita.

[tex3]\Large S_{inf} = \frac {a_1}{1-q} = \frac {4}{1-\frac{1}{3}} = \frac {4}{\frac{2}{3}} = 6[/tex3]

Logo,

[tex3]\Large A_{TOTAL} = A_1 + S_{inf} = 9 + 6 = 15[/tex3]