Ensino Médio ⇒ Geometria espacial Tópico resolvido

[rockleemat]

Em um cilindro reto toma-se uma secção perpendicular à base, de modo que a circunferência da base fica dividida na razão de 1:5. Calcule a razão entre as áreas desta secção e da secção da meridiana.

O resultado é 1/2, mas não consegui chegar a esse resultado.

[petrasMOD]

@rockleemat,
A base do cilindro é um círculo.
A secção perpendicular divide a circunferência na razão 1:5.
Seja C o comprimento total da circunferência.
As partes divididas são x e [tex3]5x:x + 5x = 360^\circ \implies[/tex3][tex3] 6x = 360^\circ \implies x = 60^\circ[/tex3]
Isso significa que a secção perpendicular "corta" um arco de [tex3]60^\cir [/tex3]na base.
Ambas as secções são retângulos com a mesma altura H (altura do cilindro). O que muda é a largura da base de cada retângulo.
Secção Meridiana ([tex3]S_m[/tex3]): Passa pelo centro, logo sua base é o diâmetro (2R).[tex3]S_m = 2R \cdot H[/tex3]
Secção Perpendicular ([tex3]S_p[/tex3]): Sua base é uma corda (L) que subtende um arco de [tex3]60^\circ[/tex3].
No triângulo isósceles formado pelo centro e as extremidades da corda, temos um ângulo central de [tex3]60^\circ[/tex3]. Como os outros dois ângulos também devem ser iguais, o triângulo é equilátero.Portanto, o comprimento da corda L é igual ao raio [tex3]R.S_p = R \cdot H[/tex3].
A razão entre a área da seção perpendicular ([tex3]S_p[/tex3]) e a área da secção meridiana ([tex3]S_m[/tex3]):
[tex3]\text{Razão} = \frac{S_p}{S_m} = \frac{R \cdot H}{2R \cdot H} = \boxed{\frac{1}{2}}[/tex3]