Ensino Superior ⇒ Mostra que as integrais são iguais

[Corretor]

Mostre que [tex3]\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt=\int\limits_{1/x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}dt[/tex3] para todo x > 0 e interprete geometricamente

como eu mostro isso??

[erihh3]

[tex3]\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt=\int\limits_{1/x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}dt[/tex3]

Sabe-se que [tex3]\int\frac{1}{1+t^{2}}dt=\arctg(t)+C[/tex3] (se quiser, eu demonstro, mas é tranquilo achar na internet).

Daí,

[tex3]\arctg(x)-\arctg(1)=\arctg(1)-\arctg\(\frac{1}{x}\)[/tex3]

[tex3]\arctg(x)-\pi/4=\pi/4-\arctg\(\frac{1}{x}\)[/tex3]

[tex3]\arctg(x)+\arctg\(\frac{1}{x}\)=\pi/2[/tex3]

A relação acima é verdade para todo valor de x pertencente aos reais positivos. Portanto, a relação inicial é verdadeira.

A minha afirmação acima fica fácil de ver se você desenhar um triângulo retângulo de catetos x e 1. Você verá que a soma dos ângulos nesse triângulo, que são [tex3]\arctg(x)\text{ e }\arctg\(\frac{1}{x}\)[/tex3], será o ângulo reto do triângulo (pi/2).