Ensino Médio ⇒ Sólidos-Cubo e Pirâmide Tópico resolvido

[zwe]

Um cubo foi decomposto em seis pirâmides ligando-se um ponto do interior do cubo a cada um dos vértices de todas as faces. Os volumes de cinco dessas pirâmides são 2, 5, 10, 11 e 14. Qual é o volume da sexta pirâmide?
a.
1

b.
4

c.
6

d.
9

e.
12

Alguém poderia me explicar essa questão??

Resposta

---

C

[petrasMOD]

zwe,
Perceba que as alturas de duas pirâmides opostas correspondem ao tamanho da aresta do cubo

[tex3]\mathsf{V_1=\frac{a^2h_1}{3}=2\rightarrow h_1=\frac{6}{a^2}\\
V_2=\frac{a^2h_2}{3}=5\rightarrow h_2=\frac{15}{a^2} \\
V_3=\frac{a^2h_3}{3}=10\rightarrow h_3=\frac{30}{a^2}\\
V_4=\frac{a^2h_4}{3}=11\rightarrow h_4=\frac{33}{a^2}\\
V_5=\frac{a^2h_5}{3}=14\rightarrow h_5=\frac{42}{a^2}}[/tex3]

Portanto a soma de duas alturas precisa ter o mesmo valor:

[tex3]\mathsf{h_1+h_5=h_2+h_4=\frac{48}{a^2}\\
\therefore h_3+h_6 =\frac{48}{a^2}\rightarrow \frac{30}{a^2}+h_6=\frac{48}{a^2}\rightarrow h_6=\frac{18}{a^2}\\
V_6=\frac{1}{3}a^2.h_6 = \frac{1}{3}.a^2.\frac{18}{a^2}\rightarrow \boxed{\mathsf{\color{Red}V_6 = 6}}}[/tex3]

[lookez]

Uma visualização (não necessariamente o ponto é o centro do cubo como na figura, mas as propriedades se mantêm):

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