Pré-Vestibular ⇒ (UFPB – 1989) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O comprimento da corda que a reta [tex3]y=x+2[/tex3] determina na circunferência [tex3](x+2)^2+y^2=8[/tex3] é

a) [tex3]2\sqrt{3}.[/tex3]
b) [tex3]32.[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{2}.[/tex3]
d) [tex3]3\sqrt{2}.[/tex3]
e) [tex3]4\sqrt{2}.[/tex3]

[Natan]

Se a reta determina uma corda então ela é secante a circunferência. Vamos então achar os pontos de interseção pelo sistema:

[tex3]\begin{cases}
(x+2)^2+y^2=8 \\
y=x+2
\end{cases}[/tex3]

[tex3](x+2)^2+(x+2)^2=8[/tex3]
[tex3]2(x^2+4x+4)=8[/tex3]
[tex3]x^2+4x=0 \Rightarrow x=0[/tex3] ou [tex3]x=-4[/tex3]

substituindo na segunda achamos os pontos: [tex3](0,\, 2)[/tex3] e [tex3](-4,\, -2).[/tex3] O comprimento da corda é a distância entre eles, que é dada por:

[tex3]D=\sqrt{(-4-0)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/tex3]

[Thales Gheós]

trok_gif.GIF (1.87 KiB) Exibido 823 vezes

Uma solução sem resolver o sistema.Toda corda é perpendicular a um diâmetro.

1- encontramos a perpendicular a [tex3]y=x+2[/tex3] que passa pelo centro [tex3]O[/tex3]

2- encontramos o ponto [tex3]M(x,y)[/tex3] e calculamos a distância [tex3]\bar{OM}[/tex3]

3- [tex3]\bar{AB}=2\bar{OM}[/tex3]

o centro da circunferência é [tex3]O(-2,0)[/tex3] e o raio [tex3]r=2\sqrt{2}[/tex3]. A perpendicular é [tex3]y=-x-2[/tex3]

[tex3]\begin{cases}y=x+2\\y=-x-2\end{cases}[/tex3]

[tex3]M(-2,0)[/tex3]

Logo o ponto [tex3]M[/tex3] coincide com o centro e a corda [tex3]\bar{AB}[/tex3] é um diâmetro: [tex3]\bar{AB}=2r[/tex3]

[tex3]\bar{AB}=4\sqrt{2}[/tex3]