Ensino Médio ⇒ Eq. do 2° grau (Relações entre Raízes) Tópico resolvido

[Babi123]

Sejam [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] duas raízes da equação [tex3]x^2+2x+2=0[/tex3], então [tex3]\alpha^{15}+\beta^{15}[/tex3] é igual a:
a) [tex3]-256[/tex3]
b) [tex3]-512[/tex3]
c) [tex3]256[/tex3]
d) [tex3]512[/tex3]

[petrasMOD]

Babi123,
Um a ideia é utilizar bháskara e calcular as raízes imaginárias
Encontraremos (-1+i) e (-1-i)
Depois utilize o binômio de Newton e encontrará -128-128i-128+128i = -256

[Babi123]

Conseguir usando uma ideia utilizada pelo csmarcelo na resolução de um outro problema um pouco parecido a este :

[tex3]\rho_1=\rho_2=\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]b=\rho_1\sen(\theta)\implies \sen(\theta)=\frac{\pi}{4}\\
a=\rho_2\cos(\theta)\implies \cos(\theta)=\frac{3\pi}{4}\\
Logo, \ \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Nas formas Trigonométricas os números complexos ficam:
[tex3]\alpha=\sqrt{2}\cdot\(-\cos\(\frac{\pi}{4}\)+i\sen\(\frac{\pi}{4}\)\)\\
\beta=\sqrt{2}\cdot\(-\cos\(\frac{\pi}{4}\)-i\sen\(\frac{\pi}{4}\)\)[/tex3]
Assim, temos que [tex3]\alpha^{15}[/tex3] e [tex3]\beta^{15}[/tex3] são:
[tex3]\alpha^{15}+\beta^{15}=(\sqrt{2})^{15}\cdot\[-\cos\(\frac{15\pi}{4}\)+i\sen\(\frac{15\pi}{4}\)-\cos\(\frac{15\pi}{4}\)-i \sen\(\frac{15\pi}{4}\)\]\\
\alpha^{15}+\beta^{15}=2^7\sqrt{2}\cdot\[-2\cos\(\frac{15\pi}{4}\)\]\\
\alpha^{15}+\beta^{15}=-2\cdot128\sqrt{2}\cdot\(\cos\(4\pi-\frac{\pi}{4}\)\)\\
\alpha^{15}+\beta^{15}=-256\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\boxed{\boxed{\alpha^{15}+\beta^{15}=-256}}[/tex3]

[jomatlove]

Resolução(de um jeito mais simples,sem usar complexos)
[tex3]x^{2}+2x+2=0[/tex3]
[tex3]\alpha [/tex3] é raiz,então:
[tex3]\alpha ^2+2\alpha +2=0[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha ^2=-2\alpha -2}[/tex3]
[tex3](\alpha ^2)^2=(-2\alpha -2)^2[/tex3]
[tex3]\alpha ^4=4\alpha ^2+8\alpha +4[/tex3]
[tex3]\alpha ^4=4(-2\alpha -2)+8\alpha +4[/tex3]
[tex3]\alpha ^4=-8\alpha -8+8\alpha +4[/tex3]
[tex3]\alpha ^4=-4[/tex3]
[tex3](\alpha ^4)^3=(-4)^3[/tex3]
[tex3]\alpha ^{12}=-64[/tex3]
[tex3]\alpha ^2.\alpha ^{12}=\alpha ^2(-64)[/tex3]
[tex3]\alpha ^{14}=-64(-2\alpha -2)[/tex3]
[tex3]\alpha ^{14}=128\alpha +128[/tex3]
[tex3]\alpha .\alpha ^{14}=\alpha (128\alpha +128)[/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}=128\alpha ^2+128\alpha [/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}=128(-2\alpha -2)+128\alpha [/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}=-256\alpha -256+128\alpha [/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha ^{15}=-128\alpha -256}[/tex3]
[tex3]\beta [/tex3] também é raiz,logo de forma análoga,obtemos:
[tex3]\boxed{\beta ^{15}=-128\beta -256}[/tex3]
Pede-se:
[tex3]\alpha ^{15}+\beta ^{15}=(-128\alpha -256)+(-128\beta -256)[/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}+\beta ^{15}=-128(\alpha +\beta )-512[/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}+\beta ^{15}=-128(-2)-512[/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}+\beta ^{15}=256-512[/tex3]
[tex3]\alpha ^{15}+\beta ^{15}=-256[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{\alpha ^{15}+\beta ^{15}=-256}[/tex3]