Pré-Vestibular ⇒ FGV-SP - 2018 - Análise Combinatória Tópico resolvido

[mcarvalho]

(FGV-SP 2018 - Economia) Existe quantidade ilimitada de bolas de três cores diferentes (branca, preta, azul) em um depósito, sendo que as bolas se diferenciam apenas pela cor. Oito dessas bolas serão colocadas em uma caixa. A quantidade de caixas diferentes que podem ser compostas com oito bolas é

Resposta

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45

[csmarceloMOD]

[tex3]b[/tex3]: número de bolas brancas na caixa
[tex3]p[/tex3]: número de bolas pretas na caixa
[tex3]a[/tex3]: número de bolas azuis na caixa

Do enunciado,

[tex3]b+p+a=8[/tex3]

Logo, há [tex3]C^{8+3-1}_8=45[/tex3] maneiras da caixa ser montada.

número de soluções inteiras e não negativaS de uma equação linear

[DanielDC]

Outra maneira de pensar mais simples (na verdade a mesma, mas de maneira mais visual):

A ideia para número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é essa ideia que apresentarei aqui abaixo, mas tentando fugir de notações e rigores de símbolos matemáticos que às vezes afugenta os alunos rsrs.

Considere que podemos ter todo tipo possível de caixa, em que teremos bolas com as 3 cores, por exemplo 3 brancas, 4 pretas e 1 azul. Ou duas cores, por exemplo, 4 brancas e 4 azuis. Ou até mesmo todas da mesma cor, 8 pretas, por exemplo. Imagine a seguinte situação. Vamos fazer um esquema com bolas e pauzinhos onde cada maneira que enxergamos as bolas e pauzinhos distribuídos, nos devolve as cores brancas, pretas e azuis, brancas as bolas do lado esquerdo do primeiro pauzinho, pretas entre o primeiro e segundo pauzinho e azul do lado direito do segundo pauzinho. Por exemplo:

O O | O O O O | O O isso significa que temos 2 bolas brancas, 4 pretas e 2 azuis.
O O O | O | O O O O isso significa que temos 3 bolas brancas, 1 preta e 4 azuis.
O O O O O O | | O O isso significa que temos 6 brancas e 2 azuis
O O O O O O O O | | isso significa que temos 8 brancas
|O|O O O O O O O isso significa que temos 1 preta e 7 azuis

Assim por diante, observe que cada permutação das oito bolinhas e dois pauzinhos me retorna uma combinação de cores das bolinhas dentro da urna. Ou seja, existe uma relação biunívoca das permutações de bolinhas e pauzinhos com o que queremos descobrir. que são todos tipos diferentes de caixas diferentes que podemos montar. Então, vamos permutar as 8 bolinhas e 2 pauzinhos para descobrir todas maneiras possíveis. (conteúdo de permutação com repetição)

Isso pode ser feito de [tex3]\frac{10!}{8!2!}=45[/tex3] modos. Ou seja, existem 45 maneiras da caixa ser montada.