Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Dois Quadrados Tópico resolvido

[joaovitor]

Na figura, ABCD e CEFG são quadrados e o lado do quadrado CEFG mede 12 cm.

Qual é o valor da área do triângulo hachurado formado pelos pontos AEG?

Resposta

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72 cm²

[DanielDC]

fig.png (22.51 KiB) Exibido 2575 vezes

Observe a figura acima. Para calcular a área do triângulo AEG. Vamos calcular a área dos dois quadrados e retirar as áreas dos triângulos ABE, FGE e ADG. A sobra será a área do triângulo AEG.

Então, montando a expressão, fica assim:

[tex3]A(ABCD)+A(CEFG)-A(ABE)-A(ADG)-A(EFG)=A(AEG)[/tex3]

Assim,

[tex3](x+12)(x+12)+12\cdot 12-\frac{(x+24)\cdot(x+12)}{2}-\frac{x(x+12)}{2}-\frac{12\cdot 12}{2}=A(AEG)[/tex3]

desenvolvendo as contas você vai chegar que [tex3]A(AEG)=72[/tex3]

[lookez]

Uma coisa interessante para se perceber de antemão é que o único lado fixo desse triângulo no problema é [tex3]\overline{GE}[/tex3], o quadrado [tex3]\square ABCD[/tex3] pode aumentar ou diminuir e o triângulo [tex3]\triangle AEG[/tex3] ainda vai existir, com seus lados [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{AG}[/tex3] variando. A única coisa que parece permanecer constante é a área dele, afinal isso é o que o problema pergunta e só há uma resposta, então de cara você pode imaginar que não é muito interessante ficar olhando para métrica e sim tentar olhar para áreas, que serão fatalmente relacionadas ao lado [tex3]\overline{GE}[/tex3] pois é o único que está fixo, afinal a área não depende da métrica do quadrado maior, depende apenas do fato de ser um quadrado.

anex.png (27.68 KiB) Exibido 2570 vezes

Trace a diagonal [tex3]\overline{AC}[/tex3] do quadrado maior e veja que ela será paralela à base [tex3]\overline{GE}[/tex3] do triângulo [tex3]\triangle AEG[/tex3], que é a diagonal do quadrado menor. Trace agora a altura do triângulo [tex3]\triangle AEG[/tex3] relativa à base [tex3]\overline{GE}[/tex3], que vai cair na reta suporte da mesma no ponto [tex3]P[/tex3], a motivação para fazer isso é obviamente o fato de [tex3]\overline{GE}[/tex3] ser a única base que conhecemos, e podemos utilizar a altura para encontrar a área.

Trace também a altura do triângulo retângulo [tex3]\triangle GCE[/tex3] dentro do quadrado menor relativa à base [tex3]\overline{GE}[/tex3], que é a mesma base do triângulo [tex3]\triangle AEG[/tex3] na qual estamos interessados. Agora ficou fácil ver que as áreas dos triângulos [tex3]\triangle AEG[/tex3] e [tex3]\triangle GCE[/tex3] serão iguais, veja que compartilham a base [tex3]\overline{GE}[/tex3] e suas alturas [tex3]\overline{AP}[/tex3] e [tex3]\overline{CQ}[/tex3] até essa base são iguais por paralelismo (note o retângulo [tex3]\square ACQP[/tex3]), portanto a resposta para o problema será a área do triângulo retângulo [tex3]\triangle GCE[/tex3], que podemos calcular:

[tex3]A_{\triangle AEG}=A_{\triangle GCE}=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{CG}\cdot\overline{CE}}{2}=\frac{12\cdot12}{2}=\boxed{72}[/tex3]

[rodBR]

Vou deixar a minha solução por Geometria Analítica.

SOLUÇÃO:[\b]
Seja [tex3]B[/tex3] a origem do plano cartesiano e [tex3]AB, \ BE[/tex3] os eixos.
Assim, temos os pontos:
[tex3]E(24+x,0), \ G(x+12,12), \ A(0,x+12)[/tex3]
Calculando o determinante e em seguida a área do triângulo [tex3]\Delta AEG[/tex3]:
[tex3]24+x \ \ \ \ \ \ \ 0\\
x+12 \ \ \ \ \ \ 12\\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+12\\
24+x \ \ \ \ \ \ \ 0\\
D=24\cdot12+12x+(x+12)^2-(x+12)(24+x)\\
D=\cancel{288}+\cancel{12x}+\cancel{x^2}+144+\cancel{24x}\cancel{-24x}\cancel{-x^2}\cancel{-288}\cancel{-12x}\\
\boxed{\boxed{D=144}}[/tex3]
Portanto, a área de [tex3]\triangle AEG[/tex3] é:
[tex3]A_{AEG}=\frac{|D|}{2}\\
A_{AEG}=\frac{144}{2}\\
\boxed{\boxed{A_{AEG}=72 \ cm^2}}[/tex3]



att>>rodBR

[joaovitor]

Pessoal, MUITO obrigado por terem resolvido e me ajudado nessa questão. Agradeço demais a cada um de vocês, por cada resolução. Hoje é o segundo dia que estou utilizando o fórum, e percebi que há como classificar uma solução como "destaque" (algo assim). Eu acho injusto fazer isso apenas com UMA das resoluções, pois todas são importantes. Não sei como lidar com isso, também não sei se isso tem alguma importância pra vocês ou se é apenas mais um rótulo. Para ser justo, irei selecionar a que foi respondida primeiro. Espero que entendam.

[DanielDC]

Pois é, fica de sugestão para os moderadores. caju, seria interessante poder marcar mais de uma resposta certa, mesmo porque diversas questões existem mais de uma maneira de serem feitas.