IME / ITA ⇒ Teorema das 3 medianas (BARICENTRO) GEOMETRIA Plana Tópico resolvido

[Menitham]

1. Como podemos resolver o encontro de 3 medianas e, formando o baricentro, relaciona-las?

2. Baricentro em funcao dos lados

Como chegar nessas conclusao?

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[petrasMOD]

Usando o Teorema das Medianas:
[tex3]\mathsf{a^2+b^2=2m_c^2+\frac{c^2}{2}\\
a^2+c^2=2m_a^2+\frac{b^2}{2}\\
b^2+c^2=2m_b^2+\frac{a^2}{2}\\
Somando: 2(a^2+b^2+c^2)=2(m_a^2+m_b^2+m_c^2)+\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2}\rightarrow \\
4(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)=4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)\rightarrow \\
3(a^2+b^2+c^2)=4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)\\
\therefore \boxed{\mathsf{\color{Red}m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)}}}[/tex3]

[petrasMOD]

Vamos demonstrar que:

\[
M_a^2 + M_b^2 = 5M_c^2
\]

onde Ma, Mb e Mc são as medianas relativas aos lados a, b e c de um triângulo retângulo, sendo c a hipotenusa.


1. **Fórmula da mediana**

A mediana relativa a um lado de um triângulo é dada por:

\[
M_x = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]

onde M_x é a mediana relativa ao lado a. De forma geral:

\[
M_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \\
M_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \\
M_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
\]

2. Como o triângulo é retângulo, podemos assumir que:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Ou seja, c é a hipotenusa.

3. Calculando os quadrados das medianas

a) M_a²

\[
M_a^2 = \left( \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \right)^2 = \frac{1}{4} (2b^2 + 2c^2 - a^2)
\]

b) M_b²

\[
M_b^2 = \frac{1}{4} (2a^2 + 2c^2 - b^2)
\]

c) M_c²

\[
M_c^2 = \frac{1}{4} (2a^2 + 2b^2 - c^2)
\]

4. Somando M_a² + M_b2

\[
M_a^2 + M_b^2 = \frac{1}{4} \left( 2b^2 + 2c^2 - a^2 + 2a^2 + 2c^2 - b^2 \right)
\]

\[
= \frac{1}{4} (a^2 + b^2 + 4c^2)
\]

Como c² = a² + b², então :

\[
M_a^2 + M_b^2 = \frac{1}{4}(c^2 + 4c^2) = \frac{1}{4}(5c^2) = \frac{5}{4}c^2
\]

5. Agora o lado direito da equação: 5M_c²

Sabemos que:

\[
M_c^2 = \frac{1}{4}(2a^2 + 2b^2 - c^2)
\]

Como a² + b² = c², então:

\[
M_c^2 = \frac{1}{4}(2c^2 - c^2) = \frac{1}{4}c^2
\]

Logo:

\[
5M_c^2 = 5 \cdot \frac{1}{4}c^2 = \frac{5}{4}c^2
\]

[tex3]\therefore [/tex3]
M_a² + M_b² = 5M_c² c.q.d




V