Olimpíadas ⇒ Função (Ibero americana 2019)

[Hanon]

Para cada inteiro positivo [tex3]n[/tex3], seja [tex3]s(n)[/tex3] a soma dos quadrados dos dígitos de [tex3]n[/tex3]. Por exemplo, [tex3]s(15)= 1^2+5^2=26[/tex3]. Determine todos os inteiros [tex3]n\geq1[/tex3] tais que [tex3]s(n)=n[/tex3].

[DanielDC]

Vamos ver se minha tentativa tem lógica rsrsrs

Considere [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3] um número de k algarismos em que [tex3]n_i[/tex3] com [tex3]1\leq i\leq k[/tex3] representa esses algarismos.

I) Primeiramente, note que [tex3]S(n_1n_2...n_k)=S(n_1n_2...n_{k-3}000)+S(n_{k-2}n_{k-1}n_k)[/tex3].

Temos que [tex3]S(1)=1[/tex3].

De 2 a 99, fazemos na mão e podemos perceber que não tem [tex3]S(n)=n[/tex3]. (eu acho, não tentei todos rsrs)

Agora, vamos provar que para [tex3]n\geq 3[/tex3], teremos que [tex3]S(n)< n[/tex3], o que prova o exercício.

Para 3 algarismos temos que [tex3]S(n_1n_2n_3)=n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3=n_1n_2n_3[/tex3].

Por que isso é verdade?

Note que [tex3]n_k[/tex3] é no máximo 9. Logo [tex3]n_1^2<100n_1[/tex3] e [tex3]n_2^2\leq10n_2[/tex3] pois [tex3]n_2[/tex3] pode ser 0.

Falta comparar [tex3]n_3[/tex3]. Vamos "emprestar " [tex3]90n_1[/tex3] dos [tex3]100n_1[/tex3] anteriores, note que precisamos apenas de [tex3]10n_1< n_1^2[/tex3] os outros [tex3]90n_1[/tex3] estão de sobra para usarmos. Logo, ficamos com [tex3]90n_1+n_3< n_3^2[/tex3]. Pois [tex3]n_3^2[/tex3] pode ser no máximo 81 e [tex3]90n_1+n_3[/tex3] é no mínimo 90. Logo, de fato [tex3]n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3[/tex3] (espero que tenha ficado claro essa parte rsrs)

Agora vamos usar indução completa. Suponha que vale até [tex3]n_k[/tex3], ou seja, para k algarismos com [tex3]k\geq3[/tex3].

Usando I) e a hipótese de indução,

Temos que [tex3]S(n_1n_2...n_kn_{k+1})=S(n_1n_2...n_{k-2}000)+S(n_{k-1}n_{k}n_{k+1})< n_1n_2...n_{k-2}000+n_{k-1}n_kn_{k+1}=n_1n_2...n_{k+1}[/tex3].

Logo, vamos ter que o único inteiro que satisfaz S é 1.

Gostaria que os colegas analisassem a resposta

[DanielDC]

Vamos ver se minha tentativa tem lógica rsrsrs

Considere [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3] um número de k algarismos em que [tex3]n_i[/tex3] com [tex3]1\leq i\leq k[/tex3] representa esses algarismos.

I) Primeiramente, note que [tex3]S(n_1n_2...n_k)=S(n_1n_2...n_{k-3}000)+S(n_{k-2}n_{k-1}n_k)[/tex3].

Temos que [tex3]S(1)=1[/tex3].

De 2 a 99, fazemos na mão e podemos perceber que não tem [tex3]S(n)=n[/tex3]. (eu acho, não tentei todos rsrs)

Agora, vamos provar que para [tex3]n\geq 3[/tex3], teremos que [tex3]S(n)< n[/tex3], o que prova o exercício.

Para 3 algarismos temos que [tex3]S(n_1n_2n_3)=n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3=n_1n_2n_3[/tex3].

Por que isso é verdade?

Note que [tex3]n_k[/tex3] é no máximo 9. Logo [tex3]n_1^2<100n_1[/tex3] e [tex3]n_2^2\leq10n_2[/tex3] pois [tex3]n_2[/tex3] pode ser 0.

Falta comparar [tex3]n_3[/tex3]. Vamos "emprestar " [tex3]90n_1[/tex3] dos [tex3]100n_1[/tex3] anteriores, note que precisamos apenas de [tex3]10n_1< n_1^2[/tex3] os outros [tex3]90n_1[/tex3] estão de sobra para usarmos. Logo, ficamos com [tex3]90n_1+n_3< n_3^2[/tex3]. Pois [tex3]n_3^2[/tex3] pode ser no máximo 81 e [tex3]90n_1+n_3[/tex3] é no mínimo 90. Logo, de fato [tex3]n_1^2+n_2^2+n_3^2<100n_1+10n_2+n_3[/tex3] (espero que tenha ficado claro essa parte rsrs)

Agora vamos usar indução completa. Suponha que vale até [tex3]n_k[/tex3], ou seja, para k algarismos com [tex3]k\geq3[/tex3].

Usando I) e a hipótese de indução,

Temos que [tex3]S(n_1n_2...n_kn_{k+1})=S(n_1n_2...n_{k-2}000)+S(n_{k-1}n_{k}n_{k+1})< n_1n_2...n_{k-2}000+n_{k-1}n_kn_{k+1}=n_1n_2...n_{k+1}[/tex3].

Logo, vamos ter que o único inteiro que satisfaz S é 1.

Gostaria que os colegas analisassem a resposta

Na verdade, na hora da indução, não é provar para [tex3]n \geq 3[/tex3], mas sim para [tex3]n_1n_2...n_k[/tex3], com [tex3]k\geq3[/tex3]. Mas acho que deu pra entender o contexto seguinte rsrs