Ensino Médio ⇒ geo plana Tópico resolvido

[leafhoney]

Seja ABCD um quadrado de lado "a" e E um ponto no interior de ABCD de modo que o triangulo CED é equilátero. Se o ponto F é a interseção da diagonal AC com o lado DE, determine a area do triangulo FEC.

geo plana.jpg (6.73 KiB) Exibido 905 vezes

[agp16]

Amigo leafhoney,

Observe o desenho:

rea hachurada.GIF (2.59 KiB) Exibido 781 vezes

O ângulo da área hachurada "H"no vértice C vale:[tex3]60º-45º=15º[/tex3]
Duplicamos o triângulo, conforme área vermelha e finalmente calcularemos a área:
[tex3]S=\frac{1}{2}.\overline{CE}.\overline{CF'}.sen30[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{2}.a.a.\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{a^2}{4}[/tex3]

[tex3]H=\frac{S}{2}[/tex3]
[tex3]H=\frac{\frac{a^2}{4}}{2}[/tex3]
[tex3]S=\frac{a^2}{8}[/tex3]

vc possui o gabarito?

[adrianotavares]

Olá, leafhoney.

Triângulo PHD.GIF (3.33 KiB) Exibido 762 vezes

Cálculo de [tex3]x[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos:

[tex3]\frac{x}{\sen 60}= \frac{a}{\sen 75}[/tex3]

[tex3]\sen 75= \sen (30+45)[/tex3]

[tex3]\sen (30+45)= \sen 30\cdot \cos 45+\sen 45\cdot \cos 30= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\sen (30+45)= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{\sen 60}= \frac{a}{\sen 75}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{a}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex3]

[tex3]\frac{2x}{\sqrt{3}}= \frac{4a}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]x= \frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]x=\(\frac{3\sqrt{2} -\sqrt{6}}{2}\)\cdot a[/tex3]

Cálculo do [tex3]\sen 15[/tex3]:

[tex3]\sen 15= \sen (45-30)= \sen 45\cdot \cos 30- \sen 30\cdot \cos 45= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]\sen (45-30) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

A área do triângulo [tex3]FEC[/tex3] é:

[tex3]A= \frac{x\cdot a\cdot \sen 15}{2}[/tex3]

[tex3]A= \frac{(\frac {3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2})\cdot (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})}{2}a^2[/tex3]

[tex3]A= \frac{(3\sqrt{2} -\sqrt{6})\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{16}a^2[/tex3]

[tex3]A= (\frac{3\sqrt{12}- 3\sqrt{2}\sqrt{2}-\sqrt{6}\sqrt{6}+\sqrt{12}}{16})a^2[/tex3]

[tex3]A= (\frac{4\sqrt{12}-6-6}{16})a^2[/tex3]

[tex3]A= (\frac{8\sqrt{3}-12}{16})a^2[/tex3]

[tex3]A=4\cdot (\frac{2\sqrt{3} - 3}{16})a^2[/tex3]

[tex3]A= (\frac{2\sqrt{3}- 3}{4})a^2[/tex3]

[leafhoney]

Ok, aproximadamente o que havia achado, (0,115584a²). Vc achou , fazendo as contas, 0,116.... Valeu!