Olimpíadas ⇒ Trigonometria - USSR Olympiad Problem Book

[Hanon]

Prove que, para coeficientes arbitrários [tex3]a_{31},a_{30},...,a_2,a_1[/tex3], a soma [tex3]\cos(32x)+a_{31}\cdot \cos(31x)+a_{30}\cos(30x)+...+a_2\cos(2x)+a_1\cos(x)[/tex3]
não pode assumir apenas valores positivos para todos os [tex3]x[/tex3].

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[AlexandreHDK]

Posso provar usando derivada. A expressão
[tex3]\cos(32x)+a_{31}\cdot \cos(31x)+a_{30}\cos(30x)+...+a_2\cos(2x)+a_1\cos(x)[/tex3]
É a derivada da expressão
[tex3]\frac{\sen(32x)}{32}+\frac{a_{31}\cdot \sen(31x)}{31}+\frac{a_{30}\sen(30x)}{30}+...+\frac{a_2\sen(2x)}{2}+a_1\sen(x)[/tex3]
Que certamente é uma função que oscila, ou seja, tem hora que está crescendo, e tem hora que está decrescendo. Ora, se uma hora está decrescendo, então a derivada dela chega a ter valores negativos, logo, a expressão dos cossenos tem valores negativos.