Concursos Públicos ⇒ MS CONCURSO (2019) - Função polinomial 1º grau Tópico resolvido

[prinutri09]

Sejam as retas (r) dada por 3x – y = 0 e (s) dada por x + 5y = 0. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(3,1) que intercepta (r) em A e (s) em B, tal que P seja o ponto médio do seguimento AB?

a)2x - y - 4 = 0
b)x + 2y + 4 = 0
c)x + y + 4 = 0
d)x + y – 4 = 0

Alguém pode desenvolver a resposta com o gráfico por favor?
Resposta D

[MateusQqMDMOD]

Olá, prinutri09

Observe um esboço da situação:

MS CONCURSO (2019) - Função polinomial 1º grau.png (64.33 KiB) Exibido 1593 vezes

É dito que o ponto P é o ponto médio do segmento AB, então

[tex3]\begin{cases}
x_P = {\large\frac{x_A + x_B}{2}} \\\\
y_P = {\large\frac{y_A + y_B}{2}}
\end{cases} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}
x_A + x_B = 6 \quad \color{black}\textbf{(I)} \\\\
y_A + y_B = 2 \quad \color{black}\textbf{(II)}
\end{cases}[/tex3]

Mas sabemos, também, que

[tex3]\begin{cases}
3x_A – y_A = 0 \\\\
x_B + 5y_B = 0
\end{cases} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}
y_A = 3x_A \quad \color{black}\textbf{(III)} \\\\
x_B = -5y_B \quad \color{black}\textbf{(IV)}
\end{cases}[/tex3]

Substituindo [tex3]\color{black}\textbf{(III)}[/tex3] em [tex3]\color{black}\textbf{(II)}[/tex3] e [tex3]\color{black}\textbf{(IV)}[/tex3] em [tex3]\color{black}\textbf{(I)},[/tex3] vem

[tex3]\begin{cases}
x_A - 5y_B = 6 \\\\
3x_A + y_B = 2
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo esse sistema encontramos [tex3]x_A = 1[/tex3] e [tex3]y_B = -1.[/tex3] Substituindo em [tex3]\color{black}\textbf{(I)}[/tex3] e [tex3]\color{black}\textbf{(II)},[/tex3] [tex3]x_B = 5[/tex3] e [tex3]y_A = 3.[/tex3]

A equação da reta pedida é

[tex3]\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3 \\
x & y \\
3 & 1 \\
\end{vmatrix}=0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\boxed{ \,x+y-4=0}[/tex3]