Ensino Médio ⇒ (Udesc 2015) Raízes e Divisão de Polinômios Tópico resolvido

[Polímero17]

(Udesc 2015)Um polinômio p(x) dividido por x + 1 deixa resto 16; por x - 1 deixa resto 12, e por x deixa resto -1. Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x - 1)x é da forma ax² + bx + c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio ax² + bx + c é:
a)3/5
b)2
c)2/15
d)4
e)-2

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Olá.
Sabemos que se ao dividir P(x) por (x-a) nos dá um resto Y, P(a)=Y. (ATENÇÃO NO SINAL)
Como ele nos deu os valores de P(-1), P(1) e P(0), já podemos ter uma ideia do polinômio P.

Sendo P = (x+1)(x-1)x q + ax^2 + bx + c
P(1) = a + b + c
P(-1)=a - b + c
P(0)= c

Resolvendo o sistema, encontramos a, b e c.
Com isso, já temos o polinômio pedido.
Resta encontrar por Bháskara, Relações de Girard ou Soma de Newton o valor dessa soma pedida.

Espero ter ajudado.

[Polímero17]

Olá Zhadnyy, obrigado pela resposta!

Mas no caso o que vc entrou não foi o p(x)?
Eu compreendi que dividindo p(x) por (x+1)(x-1)x, encontraríamos um outro polinomio ax^2+bx+c (o resto) e a partir dessa operação descobriríamos a soma das raízes do resto da divisão . O que entendi errado?
Tipo, pra mim tem um outro polinomio na história kkkk

o resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x - 1)x é da forma ax2 + bx + c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio ax2 + bx + c é:

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Mas no caso o que vc entrou não foi o p(x)?

Olá.
Sabemos que a divisão do polinômio P(x) por (x+1)(x-1)x pode ser escrita como:
P = (x+1)(x-1)x q + ax^2 + bx + c
(Método de Descartes)
(q é um outro polinômio, que nesse caso é irrelevante para nosso problema)


Ele nos deu o resultado de P(1), por exemplo.
Então,
P(1) = (1+1)(1-1)1q + a + b + c
Disso tiramos que P(1) = a + b + c

A mesma coisa para os outros.
Disso, compreendemos que estaremos achando, na verdade, os próprios coeficientes do resto.

Espero que tenha ajudado.

[Polímero17]

Muito obrigado Zhadnny!