Ensino Médio ⇒ Geometria e Proporção Tópico resolvido

[nicolasbaggio]

Qual é a proporção da parte pintada em vermelho no quadrado?

3.png (124.42 KiB) Exibido 862 vezes

a) p=0,57
b) p=0,49
c) p=0,68

Resposta

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p=0,57

[LostWalker]

Ok, eu confesso q achei muito interessante já que se trata de um assunto não tanto comentado, ao mesmo modo, simples na interpretação.

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A proporção, na verdade, está se repetindo continuamente, logo, se fôssemos pegar a proporção de uma parte, logo teríamos do todo. Nesse caso, a proporção q se repete, é essa:

Proporção 2.jpg (14.69 KiB) Exibido 854 vezes

Calculando a proporção dessa parte, temos a proporção do todo

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Pode parecer confuso, mas vou exemplificar de outro modo, observe a seguinte imagem:

Proporção.jpg (10.23 KiB) Exibido 854 vezes

Notando a divisão que eu fiz de linhas mais grossas, pode ver que todas a parte estão fazendo divisões na metade. Sempre estão divididas na metade, então sabemos que a proporção dessas duas cores é [tex3]50\%[/tex3] para cada. Pense assim, a proporção é a mesma, se eu pegar apenas as duas primeiras colunas, continuará [tex3]50\%[/tex3], se eu pegar o conjunto mais a direita, continua [tex3]50\%[/tex3], se eu pegar a todos e ver a proporção, mantem [tex3]50\%[/tex3]

Voltando para a questão, se eu calcular a proporção do Vermelho (ou do Bege pra chegar no vermelho que é o que faremos) teremos a proporção do todo

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Vamos calcular a parte Bege dessa figura:

Proporção 2.jpg (14.69 KiB) Exibido 854 vezes

A parte vermelha será o complementar para [tex3]1[/tex3]. No caso, usaremos a Bege simplesmente por que é mais fácil de calcular...

Podemos dizer que a parte Bege é o Quadrado Maior menos o Circulo Vermelho

Falando que o lado o Quadrado é [tex3]l[/tex3], o Diâmetro do Círculo também é [tex3]l[/tex3], tendo como raio [tex3]\frac{l}{2}[/tex3]

[tex3]A_B=A_\square-A_\circ\\A_B=l^2-\pi\cdot\(\frac l2\)^2\\A_B=l^2-\frac{l^2\pi}{4}[/tex3]

[tex3]\color{Bittersweet}\boxed{A_B=\frac{l^2(4-\pi)}{4}}[/tex3]

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Agora, vamos calcular o Todo, que no caso, se refere a parte Bege e Azul dessa mesma imagem, ou seja, essa "[tex3]\square[/tex3]" sem esse branco no meio:

Proporção 3.jpg (15.06 KiB) Exibido 854 vezes

Veja que

Triângulo Maior
-Cateto igual a Raio do Círculo
-Hipotenusa igual a metade da Diagonal do Quadradro

Triângulo Menor
-Cateto Igual a [tex3]x[/tex3]
-Hipotenusa igual a Raio do Círculo


Regra de 3

[tex3]\frac{x}{\frac {\color{Red}\cancel{\color{Black}l}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}=\frac{\frac {l}{2}}{\frac {\color{Red}\cancel{\color{Black}l}\color{Black}\sqrt2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}\\[/tex3]

[tex3]x=\frac{l\sqrt2}{4}[/tex3]

Logo, o lado do quadrado menor é [tex3]\frac{l\sqrt2}{2}[/tex3] e sua área do Quadrado menor é igual a [tex3]{A_{_\square}=\frac{l^2}{2}}[/tex3]

Obtendo apenas a parte que nós queremos, é o Quadrado Grande menos o Quadrado Pequeno

[tex3]A_T=A_\square-A_{_\square}\\A_T=l^2-\frac{l^2}{2}[/tex3]

[tex3]\color{JungleGreen}\boxed{A_T=\frac{l^2}{2}}[/tex3]

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Finalizando, a proporção da parte Bege para o Todo é

[tex3]\frac{A_B}{A_T}=\frac{\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}l^2}}(4-\pi)}{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}\color{Black}^2}}{\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}l^2}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}[/tex3]

[tex3]\frac{A_B}{A_T}=\frac{(4-3,\!14)}2=\frac{0,\!86}{2}=\boxed{0,\!43}[/tex3]

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Lembrando agora que essa é a parte Bege, ou seja, o Complementar é a Parte Vermelha logo

[tex3]{\color{Red}A_V}=1-0,\!43[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A_V=0,\!57}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]

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As contas fluem bem rápido, o post ficou longo pela explicação

[nicolasbaggio]

Excelente! Muito obrigado