Ensino Médio ⇒ Permutaçao Circular (Rufino) Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a, b, c, d, e,f,g, para um almoço em mesa redonda. O presidente sabe que o membro "a" suporta "b" e "c" somente quando esses dois membros estão juntos; estando separados, "a" não deve permanecer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento à mesa com seus colaboradores.

Resposta

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1880

[MateusQqMDMOD]

Não consegui chegar no gabarito sugerido, mas deixarei minha ideia aqui e em outro momento volto no tópico.

É interessante dividir o problema em casos.

[tex3]\text{i)}[/tex3] Permutações circulares em que "b" e "c" estão juntos;

Há [tex3](PC)_7 = 6![/tex3] modos de formar essa roda. Mas devemos decidir em que ordem "b" e "c" se apresentarão ([tex3]2![/tex3] modos).

Estes casos são em número de [tex3]6! \times 2.[/tex3]

[tex3]\text{ii)}[/tex3] Permutações circulares em que "a", "b" e "c" não estão juntos;

Há [tex3](PC)_5 = 4![/tex3] modos de formar uma roda com "p", "d", "e", "f" e "g". Depois disso, "a", "b" e "c"devem ser postos nos lugares entre os membros já dispostos. Há [tex3]C_5^3[/tex3] modos de escolhermos seus lugares. Finalmente, devemos apenas arrumá-los nestes assentos ([tex3]3![/tex3] modos).

Estes casos são em número de [tex3]4! \times C_5^3 \times 3! [/tex3]

[MateusQqMDMOD]

A minha resposta é [tex3]6! \times 2 + 4! \times C_5^3 \times 3! = 2880.[/tex3]

Penso que o gabarito esteja com falha.

[csmarceloMOD]

Também acredito que o gabarito esteja com falha. Concordo com a resposta do MateusQqMD.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Pensei em uma possibilidade de resolução, mas por algum motivo tambem nao cheguei no resultado esperado.

Segue a ideia:
Pegar o total de permutaçoes circulares sem restrições e retirar desses casos os que ab estao juntos, separados de c, e os que ac estao juntos, separados de b.

Encontrei o resultado 3120.

[MateusQqMDMOD]

Não entendi o que você quis fazer. Talvez algum outro colega possa ajudá-lo melhor.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

A resolução que imaginei é:
_____
Pelo raciocínio indireto: acho os casos desfavoráveis e subtraio dos casos totais.
Casos desfavoráveis: b junto com a e separado de c; c junto com a e separado de b.
Casos totais: PC8.

____

Primeiramente, faço a permutaçao circular de 8 elementos. (Casos totais)
PC8 = 7! = 5040

Depois, considero que c, por exemplo, esteja em determinado lugar.
Quero os casos em que a e b estão juntos, porém separados de c.
Após c sentar, temos 5 lugares disponiveis para a e b.
Para distribuirmos a e b nesses 5 lugares possiveis, sendo que eles devem estar juntos, temos 4 possibilidades. Permutando a posição de ambos, 8 possibilidades.
Restam 5 lugares disponiveis, sendo que a b e c ja estao sentados.
Por isso, pensei em permutar 5 elementos.

Fazendo esse processo duas vezes (uma para a e b juntos e outra para a e c juntos) e retirando do total de casos (5040) obtenho 3120...

Alguem enxerga algum erro nisso?

[MateusQqMDMOD]

Eu entendi o que você quis dizer agora. Mas estou sem tempo para pensar na sua solução. Em outro momento volto aqui.

[csmarceloMOD]

Não consegui pensar em todas as situações que faltam ser consideradas, mas uma delas é o caso em que [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] estão sentados juntos, com [tex3]a[/tex3] entre os outros dois. Do jeito que você pensou, sempre existe alguém entre [tex3]ab[/tex3] e [tex3]c[/tex3] ou [tex3]ac[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

Acredito que a melhor forma de resolver seja a exposta pelo Matheus. Por exclusão está se mostrando bastante trabalhoso.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Realmente esqueci de considerar esse caso.

Supondo a b e c juntos, temos 2 possibilidades:
B A C e C A B
Restam, portanto, 5 lugares para distribuirmos entre as pessoas restantes.
2.5! = 240

Mesmo assim, ficamos com 3120 - 240 = 2880.