IME / ITA ⇒ (COLÉGIO NAVAL - 1983) Tópico resolvido

[agp16]

(COLÉGIO NAVAL - 1983) A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação:
[tex3]\frac{({-}x+3)^3}{(x^2+x-2)\cdot (5-x)^{11}\cdot (2x-8)^{10}} \leq0[/tex3] é:

(A) 1
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 2

Resposta

---

Resposta= e

[triplebig]

Para analisar o sinal, trarei o denominador para o numerador, fazendo um polinômio:

[tex3](-x+3)^3\cdot(x^2+x-2)\cdot(5-x)^{11}\cdot(2x-8)^{10}\leq 0[/tex3]

As raízes e suas multiplicidades:

[tex3]\begin{cases}
3 , &\text{multiplicidade ímpar} \\
1, &\text{multiplicidade ímpar} \\
-2 , &\text{multiplicidade ímpar}\\
5 , &\text{multiplicidade ímpar} \\
4 , &\text{multiplicidade par}
\end{cases}[/tex3]

De acordo com o teorema de Bolzano, se a multiplicidade das raízes for par o sinal da imagem permanece o mesmo, e se for impar, ele troca. Assim, basta sabermos onde que eh positivo ou negativo. Testarei o zero.

[tex3](-0+3)^3\cdot(0^2+0-2)\cdot(5-0)^{11}\cdot(2\cdot0-8)^{10}[/tex3]

É negativo.

Assim, podemos analisar o sinal.

[tex3]{-}2---\text{ - }--- 1 ---\text{ + } --- 3 --- \text{ - }--- 4 --- \text{ - } --- 5[/tex3]

Assim, como a única raiz possível é 3, os únicos números inteiros que geram um número negativo são [tex3]{-}1 . 0 , \text{ e } 3[/tex3], cuja soma é [tex3]2[/tex3]