Ensino Superior ⇒ Derivadas / Max e Min Tópico resolvido

[Carol19motta]

Bom dia, pessoal!
Estou tentando resolver essas questoes desde ontem e sempre acabo no mesmo lugar, tenho imensa dificuldade na materia e estou me sentindo cada vez mais desmotivada. Se alguem puder ficarei muito agradecida.

Para cada uma das funções f abaixo:
(a) f(x) = x2 +8x
(b) f(x) = x·(x2 −4)
(c) f(x) = x4 −4x3
(d) f(x) = x2 x +1

i. Calcule ( se houver) os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados;
ii. Encontre a derivada de f
iii. Encontre , se houver, os pontos críticos de f
iv. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da f
v. Determine os valores extremos ( Máximos e mínimos, se houver.) de f
vi. Encontre a Derivada segunda de f
vii. Determine a concavidade do gráfico de f em cada intervalo

[baltuilhe]

Bom dia!

Vamos fazer a letra a) e depois vc tenta as outras, pode ser?

i. Interseção com eixos coordenados é onde a função cruza (corta) os eixos x (abscissas) e y (ordenadas)
A interseção com x é onde y=0. Então:
[tex3]f(x)=x^2+8x\\
x^2+8x=0\\
x(x+8)=0\Rightarrow
\begin{cases}x=0\\\text{ou}\\x=-8\end{cases}[/tex3]
Então, aqui, são os pontos (0,0) e (-8,0).

A interseção com o eixo y é onde x=0. Então:
[tex3]f(x)=x^2+8x\\
f(0)=0^2+8(0)\Rightarrow y=0[/tex3]
Aqui somente o ponto (0,0), já obtido anteriormente.

ii. Encontre a derivada de f:
[tex3]f'(x)=2x+8[/tex3]

iii. Pontos críticos de f:
São os pontos onde a derivada não existe ou que valem zero.
[tex3]f'(x)=0\\
2x+8=0\\
2x=-8\\
x=-4[/tex3]
Então, ponto crítico é (-4,0)

iv. Intervalos de crescimento e decrescimento.
Onde a derivada é positiva, função crescente. Onde a derivada é negativa, decrescente. Onde a derivada vale zero, é um ponto de máximo ou mínimo.
[tex3]x<-4\rightarrow f'(x)<0\therefore\text{decrescente}\\
x>-4\rightarrow f'(x)>0\therefore\text{crescente}[/tex3]

v. Valores extremos.
Se a função decresce antes de x=-4 e depois cresce após x=-4, então, nesse ponto, a função tem um ponto de MÍNIMO.

vi. Derivada segunda:
[tex3]f''(x)=2[/tex3]

vii. Concavidade, dada pela derivada segunda.
f''(x) > 0 ==> concavidade para cima. É o caso dessa função, que tem derivada segunda constante e positiva. Concavidade sempre pra cima.

Espero ter ajudado!

[Carol19motta]

Bom dia!

Vamos fazer a letra a) e depois vc tenta as outras, pode ser?

i. Interseção com eixos coordenados é onde a função cruza (corta) os eixos x (abscissas) e y (ordenadas)
A interseção com x é onde y=0. Então:
[tex3]f(x)=x^2+8x\\
x^2+8x=0\\
x(x+8)=0\Rightarrow
\begin{cases}x=0\\\text{ou}\\x=-8\end{cases}[/tex3]
Então, aqui, são os pontos (0,0) e (-8,0).

A interseção com o eixo y é onde x=0. Então:
[tex3]f(x)=x^2+8x\\
f(0)=0^2+8(0)\Rightarrow y=0[/tex3]
Aqui somente o ponto (0,0), já obtido anteriormente.

ii. Encontre a derivada de f:
[tex3]f'(x)=2x+8[/tex3]

iii. Pontos críticos de f:
São os pontos onde a derivada não existe ou que valem zero.
[tex3]f'(x)=0\\
2x+8=0\\
2x=-8\\
x=-4[/tex3]
Então, ponto crítico é (-4,0)

iv. Intervalos de crescimento e decrescimento.
Onde a derivada é positiva, função crescente. Onde a derivada é negativa, decrescente. Onde a derivada vale zero, é um ponto de máximo ou mínimo.
[tex3]x<-4\rightarrow f'(x)<0\therefore\text{decrescente}\\
x>-4\rightarrow f'(x)>0\therefore\text{crescente}[/tex3]

v. Valores extremos.
Se a função decresce antes de x=-4 e depois cresce após x=-4, então, nesse ponto, a função tem um ponto de MÍNIMO.

vi. Derivada segunda:
[tex3]f''(x)=2[/tex3]

vii. Concavidade, dada pela derivada segunda.
f''(x) > 0 ==> concavidade para cima. É o caso dessa função, que tem derivada segunda constante e positiva. Concavidade sempre pra cima.

Espero ter ajudado!

Muito obrigada!!! Vc é fera!
Estou tentando fazer os outros
Voce não imagina o quanto me ajudou! Obrigada!