Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2020) Análise Combinatória (Número de Posições Distintas) Tópico resolvido

[MateusQqMDMOD]

Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a

[tex3]\text{A)}[/tex3] [tex3]48[/tex3]

[tex3]\text{B)}[/tex3] [tex3]72[/tex3]

[tex3]\text{C)}[/tex3] [tex3]96[/tex3]

[tex3]\text{D)}[/tex3] [tex3]120[/tex3]

Gabarito

---

B

[MateusQqMDMOD]

1ª Solução:

O número total de modos de arrumar [tex3]5[/tex3] pessoas em fila é [tex3]5!.[/tex3] O número de modos de arrumar [tex3]5[/tex3] pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, A e B, fiquem juntas é [tex3]2\cdot4!,[/tex3] pois, para formar tal fila, devemos inicialmente decidir em que ordem se colocarão A e B (AB ou BA), e, em seguida, formar uma fila de [tex3]4[/tex3] objetos: o bloco das pessoas A e B; as demais 3 pessoas.

A resposta é [tex3]5! - 2\cdot4! = 72.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

2ª Solução:

Das [tex3]5[/tex3] posições da fila, devemos escolher [tex3]2,[/tex3] sem que sejam escolhidas duas posições adjacentes, para pôr as pessoas A e B. Isso pode ser feito de [tex3]f(5,2) = C_{5-2+1}^2 = C_4^2 = 6[/tex3] modos. Em seguida, devemos organizar as pessoas A e B nesses lugares, o que pode ser feito de [tex3]2![/tex3] modos. Feito isso, as posições restantes serão ocupadas pelas outras três pessoas [tex3](3![/tex3] modos).

A resposta é [tex3]6 \cdot 2\cdot 3! = 72.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

[tex3]f(5,2) = C_{5-2+1}^2 = C_4^2 = 6[/tex3] modos.

Demonstração - Primeiro Lema de Kaplansky

[SWR]

Mestre, como é mesmo o tipo de combinação que você usou para esse cálculo...?!