Ensino Superior ⇒ Derivada Guidorizze Tópico resolvido

[magben]

Um ponto P move-se sobre a parábola y2 = x, x > 0 e y > 0. A abscissa x está variando com uma aceleração que, em cada instante, é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y. Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como x tem aceleração que corresponde ao dobro da velocidade de y, temos que;

[tex3]\frac{d^2x}{dt^2}=2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\ ( I)[/tex3]

Por outro lado, como P move-se sobre a parábola y² = x, temos que derivar a função em termos de t, fica;

[tex3]2y\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}[/tex3]

Derivando mais uma vez, vem;

[tex3]2\left(\frac{dy}{dt}.\frac{dy}{dt}+y.\frac{d^2y}{dt^2}\right)=\frac{d^2x}{dt^2}[/tex3]

[tex3]2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+2y.\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2x}{dt^2}[/tex3]

[tex3]2y.\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2x}{dt^2}- 2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2[/tex3]

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}.[\frac{d^2x}{dt^2}- 2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2] \ ( II )[/tex3]

Substituindo ( I ) em ( I I ), temos;

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}.[2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2- 2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2][/tex3]

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}.0[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{d^2y}{dt^2}=0[/tex3]


Portanto, mostramos que a ordenada está variando com aceleração nula. C.q.m.



Bons estudos!