Ensino Superior ⇒ (Guidorizze) Aplicações de Derivadas Tópico resolvido

[magben]

Dois pontos P e Q deslocam-se, respectivamente, nos eixos x e y de modo que a soma das distâncias de P a R e de R a Q mantém-se constante e igual a [tex3]\ell[/tex3] e durante o movimento, em que R = (0, h) é um ponto fixo. (Veja a figura a seguir.)

Relacione a veolcidade (dy/dt) de Q com a velocidade (dx/dt) de P.

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[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

( RP )^2 = x² + h²

RP = ± √( x² + h² ) , como trata-se de distância, logo, RP = √( x² + h² ).


Por outro lado,

RQ = h - y


Assim, a soma das distâncias de P a R e de R a Q é :

h - y + √( x² + h² ) = [tex3]\ell[/tex3]

Derivando em relação a t, temos que:

[tex3]\frac{d}{dt}(h-y)+\frac{d}{dt}(\sqrt{x^2+h^2})=\frac{d}{dt}(\ell)[/tex3]

[tex3]0-\frac{d}{dy}(y)\frac{dy}{dt}+\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+h^2})\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

[tex3]-1.\frac{dy}{dt}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+h^2}}.\frac{d}{dx}(x^2+h^2)\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

[tex3]-\frac{dy}{dt}+\frac{2x+0}{2\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

[tex3]-\frac{dy}{dt}+\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

[tex3]-\frac{dy}{dt}+\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}=0[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{dy}{dt}=\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}[/tex3]



Bons estudos!

[magben]

Essa questão é sobre derivação implícita? Estou com dificuldade nesse assunto

[Cardoso1979]

Essa questão é sobre derivação implícita?

Faz parte