Pré-Vestibular ⇒ (FPS) - Logaritmos Tópico resolvido

[Lupan]

Boa noite, gostaria de pedir ajuda nesse exercício:

Uma pessoa ingeriu uma bebida contendo 120 mg de cafeína. A cada hora, a quantidade de cafeína presente no
organismo da pessoa diminui 12%. Em quanto tempo restará 10 mg de cafeína no corpo da pessoa? Dados: use as
aproximações log (2) ≈ 0,30, log (3) ≈ 0,48 e log (11) ≈ 1,04

A) 22 horas
B) 15 horas
C) 17 horas
D) 16 horas
E) 18 horas

Obrigado!

Resposta

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Resposta: E

[Augustus]

A função que descreve a quantidade [tex3]Q[/tex3] de cafeína conforme o passar do tempo [tex3]t[/tex3] (em horas) é:
[tex3]Q(t)=120(1-0,12)^t[/tex3]
Substituindo os valores que o exercício pede:
[tex3]10=120(1-0,12)^t[/tex3]
[tex3]10=120.0,88^t[/tex3]
[tex3]\frac {10}{120}=0,88^t[/tex3]

Agora nós vamos decompor os números:
[tex3]\frac {2.5}{2.2.2.5.3}=[10^{-2}.2.2.2.11]^t[/tex3]

Cortando o 5:
[tex3]\frac {2}{2.2.2.3}=[10^{-2}.2.2.2.11]^t[/tex3]

A partir daí, vamos utilizar os dados do exercício. Ao invés de usar o número 2, por exemplo, vamos substitui-lo pela potência de 10 correspondente
[tex3]\frac {10^{0,3}}{10^{0,3}.10^{0,3}.10^{0,3}.10^{0,48}}=[10^{-2}.10^{0,3}.10^{0,3}.10^{0,3}.10^{1,04}]^t[/tex3]

Resolvendo as frações a partir das regras de potenciação, o resultado será:
[tex3]10^{-1,08}=10^{-0,06t}[/tex3]
[tex3]t=\frac {-1,08}{-0,06}=18[/tex3]