Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 1995) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[FMRY]

Observe a figura.

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Nessa figura, a região hachurada está delimitada pelos arcos [tex3]BC, AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] das circunferências de centros [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C,[/tex3] respectivamente, e a medida do segmento [tex3]BC[/tex3] é [tex3]\sqrt{2}.[/tex3]
A área dessa região é

a) [tex3]\pi - \frac{3\sqrt{3}}{8}[/tex3]
b) [tex3]\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\pi - \sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
e) [tex3]\pi - \sqrt{3}[/tex3]

Resposta:

---

c

[agp16]

Olá FMRY ,

Observando o desenho:

imagem2.GIF (3.17 KiB) Exibido 3162 vezes

Calculando a área do setor circular
[tex3]S_{sc}=\frac{\pi\cdot r^2\cdot \beta}{360^o}[/tex3]
[tex3]S_{sc}=\frac{\pi\cdot \(\sqrt{2}\)^2\cdot 60^o}{360^o}[/tex3]
[tex3]S_{sc}=\frac{\pi}{3}[/tex3]

Calculando a área do triângulo equilátero
[tex3]S_{t}=\frac{r^2\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]S_{t}=\frac{(\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]S_{t}=\frac{3}{2}[/tex3]

Calculando da área desejada que será igual a
[tex3]S_{h}=3\cdot (S_{sc}{-}S_{t})+S_{t}[/tex3]
[tex3]S_{h}=3\cdot (\frac{\pi}{3}{-}\frac{3}{2})+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]S_{h}=3\cdot (\frac{2\cdot \pi{-}9}{6})+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]S_{h}=3\cdot (\frac{2\cdot \pi{-}9}{6})+\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]S_{h}=\frac{2\cdot \pi{-}9+{3}}{2}[/tex3]
[tex3]S_{h}=\frac{2\cdot \pi{-}6}{2}[/tex3]
[tex3]S_{h}=\pi{-}3[/tex3].