Ensino Superior ⇒ volume - integral tripla Tópico resolvido

[Elzafrozen]

Calcule [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}[/tex3] ydV, onde W é o solido do primeiro octante que esta abaixo da superficie Z=4-X²-Y².

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Se tomarmos z = 0 na equação do paraboloide, obteremos x² + y² = 4. Isso significa que o plano intercepta o paraboloide no círculo x² + y² = 4 e o sólido W está abaixo do paraboloide e acima de 1/4 do disco circular D ( no primeiro octante ) dado por x² + y² ≤ 4. Em coordenadas polares, D é dado por 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ π/2. Como 4 - x² - y² = 4 - r² , a integral se transforma em :

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}y(4-x^2-y^2)dydx=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2}rsen(\theta )[4-r^2]rdrd\theta =\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2}[4r^2sen(\theta )-r^4sen(\theta )]drd\theta =\frac{64}{15}[/tex3]

Obs. O desenvolvimento dos cálculos ficará como exercício para você


Nota

Outra maneira seria ( em coordenadas cartesianas ):

[tex3]\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{0}^{4-x^2-y^2}y \ dzdydx=\frac{64}{15}[/tex3] , muito trabalhoso!!!



Bons estudos!