Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP 2015 - 2ª Fase) Problemas de Contagem Tópico resolvido

[mcarvalho]

Um sistema de código de barras tem extensão de 13 cm, e é composto por barras alternadas de cor branca ou preta, começando e terminando sempre por uma barra preta. Cada barra (branca ou preta) mede 1 ou 2 cm. A figura indica uma possibilidade de código nesse sistema. A leitura de código no sistema sempre é feita da esquerda para a direita.

Calcule o total de códigos diferentes que podem ser formados nesse sistema.

Resposta

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189

[petrasMOD]

mcarvalho,
Como são barras alternadas começando e terminando pela cor preta teremos um número ímpar de barras.
Como são dois tamanhos de barras, sendo x e y os tamanhos teremos x + 2y = 13 cm
Agora é ver as combinações possíveis:
i) x = 1 e y = 2=> 1 + 2.6: permutação de xyyyyyy : Permutação com repetição: [tex3]\mathsf{P_7^{(6)}=\frac{7!}{6!}=7}[/tex3].
ii) x = 5 e y = 4 => 5 + 2.4: permutação de xxxxxyyyy: Permutação com repetição: [tex3]\mathsf{P_{9}^{(5,4)}=\frac{9!}{5!4!}=126}[/tex3] .
iii) x = 9 e y = 2 => 9 + 2.2: permutação de xxxxxxxxxyy:Permutação com repetição: [tex3]\mathsf{P_{11}^{(9,2)}=\frac{11!}{9!2!}=55}[/tex3] .
iv) x = 13 e y = 0 => 13 + 2.0: permutação de xxxxxxxxxxxxx: 1 possibilidade.

Portanto: 7 + 126 + 55 + 1 = 189 possibilidades.