Pré-Vestibular ⇒ (CEDERJ 2005-1) Geometria Analítica Tópico resolvido

[Jbnlima]

(CEDERJ 2005-1) Considere P e Q os pontos de interseção da reta [tex3]y= x+ 1[/tex3] com a parábola y= [tex3]x^2 - 2x + 1[/tex3].

Determine:

a) As coordenadas dos pontos P e Q;
b)O comprimento do segmento PQ;
c)A equação da reta que intercepta a parábola dada em apenas um ponto e que é paralela à reta que contém o segmento PQ.

[Natan]

mãos a obra:

a) acharemos a intercção resolvendo o sistema:

[tex3]\begin{cases}
y=x^2-2x+1 \\
y=x+1
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x^2-2x+1=x+1 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x=0,\, 3[/tex3] daí teremos [tex3]P(0,\, 1)[/tex3] e [tex3]Q(3,\, 4)[/tex3]

b) O comprimento [tex3]\overline{PQ}[/tex3] é a distância entre [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] dada por:

[tex3]\overline{PQ}=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2[/tex3]

c) a reta que contém o segmento [tex3]\overline{PQ}[/tex3] é a reta dada na questão e qualquer paralela a ela é da forma [tex3]y=x+k.[/tex3] Como ela deve interceptar a parábola uma única vez então o sistema abaixo deve gerar uma única solução


[tex3]\begin{cases}
y=x^2-2x+1 \\
y=x+k
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x^2-2x+1=x+k \Rightarrow x^2-3x+k+1=0[/tex3] vamos calcular o discrimante
[tex3]\Delta=9-4.1.(k+1)=5-4k[/tex3] para que essa equação gere uma única solução devemos ter o discriminante nulo, assim:

[tex3]5-4k=0\, \therefore\, k=\frac{5}{4}[/tex3]

e portanto a reta procurada é [tex3]y=x+\frac{5}{4}[/tex3]


qualquer coisa é só perguntar.

[Jbnlima]

Oi, tenho uma dúvida -No segmento:

[tex3]x^2[/tex3] -2x +1 = x + k passaria para
[tex3]x^2[/tex3] - 3x + k + 1, não seria:
[tex3]x^2[/tex3] - 3x - k + 1, já que o k passou para o outro lado da igualdade ?

[Natan]

hum, de fato eu dei mole ai, não tenho mais como editar mais vamos lá:

[tex3]x^2-2x+1=x+k \Rightarrow x^2-3x+(1-k)=0[/tex3]

calculando delta:

[tex3]\Delta=9-4.1(1-k)[/tex3] impondo que ele deve ser nulo:
[tex3]5+4k=0 \Rightarrow k=-\frac{5}{4}[/tex3]

daí a reta fica: [tex3]y=x-\frac{5}{4}[/tex3]

valeu a percepção!