Ensino Médio ⇒ Determinantes

[kildo]

Dadas as matrizes [tex3]A_{n\times n}[/tex3] e [tex3]B_{n\times n},[/tex3] de ordem [tex3]n,[/tex3] temos que: [tex3]\det(2AB) = -16,[/tex3] [tex3]\det(A) = -\frac{1}{8}[/tex3] e [tex3]\det(B) = 4.[/tex3] Determine [tex3]n[/tex3].

[marco_sx]

Olá kildo

[tex3]\det (2AB)=\det (2A).\det (B)= 2^n.\det (A).\det (B)[/tex3]

Portanto: [tex3]2^n.\(-\frac{1}{8}\).(4)=-16 \Rightarrow 2^n=32=2^5[/tex3]

Ou seja, [tex3]n=5.[/tex3]

[kildo]

Porque que [tex3]\det(2A) = 2^n\cdot \det A[/tex3]

ficaria grato, se me explicasse melhor essa passagem!
valeu...

[marco_sx]

Você pode decorar isso como uma propriedade.
Seja [tex3]A[/tex3] uma matriz de ordem [tex3]n[/tex3] e [tex3]\alpha[/tex3] um número pertencente aos reais:

• [tex3]\det (\alpha A)=\alpha^n.\det(A)[/tex3]

Por exemplo:

[tex3]A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]\\
x.A=\left[\begin{array}{ccc} x.a_{11} & x.a_{12} & x.a_{13} \\ x.a_{21} & x.a_{22} & x.a_{23} \\ x.a_{31} & x.a_{32} & x.a_{33} \end{array}\right][/tex3]

[tex3]\det(x.A)=\|\begin{array}{ccc} x.a_{11} & x.a_{12} & x.a_{13} \\ x.a_{21} & x.a_{22} & x.a_{23} \\ x.a_{31} & x.a_{32} & x.a_{33} \end{array}\|=\\x.\|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x.a_{21} & x.a_{22} & x.a_{23} \\ x.a_{31} & x.a_{32} & x.a_{33} \end{array}\|=x^2.\|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x.a_{31} & x.a_{32} & x.a_{33} \end{array}\|=x^3. \det (A)[/tex3]

[kildo]

valeu mano!
A resolução tá xou!
abração....